דלג לתוכן

הסתברות בהקשרים חברתיים ומדעיים

מדע וחברה, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 11 מתוך 15לימוד

הסתברות בהקשרים חברתיים ומדעיים

בחירה אקראית מאוכלוסייה

כשבוחרים אדם באקראי מתוך אוכלוסייה, ההסתברות שיש לו תכונה מסוימת היא החלק של האוכלוסייה שיש לו התכונה הזאת.

“באקראי” פירושו שלכל אדם יש אותו סיכוי להיבחר. אז כל אדם הוא תוצאה שוות סיכוי, ו:

P(A)=kn\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}

k\displaystyle k – מספר האנשים שיש להם התכונה, n\displaystyle n – מספר האנשים באוכלוסייה.

בעיר שגרים בה 50,000 תושבים, סוגי הדם מתחלקים כך:

סוג דםOABAB
תושבים19,00018,0009,0004,000

בוחרים תושב באקראי. ההסתברות שסוג הדם שלו A:

1800050000=0.36\frac{18000}{50000}=0.36
שבר, מספר עשרוני ואחוז

אותה הסתברות נכתבת בשלוש דרכים: 36100=0.36=36%\displaystyle {\frac{36}{100}}={0.36}={36\%}.

בעלון של תרופה כתוב לפעמים “1 מתוך 10,000” – זו הסתברות קטנה מאוד:

110000=0.0001=0.01%\frac{1}{10000}=0.0001=0.01\%
  • “שכיח”: עד 1 מתוך 10 משתמשים, כלומר עד 10%.
  • “נדיר”: עד 1 מתוך 1,000 משתמשים, כלומר עד 0.1%.
המאורע המשלים

ההסתברות שמאורע לא יקרה היא 1 פחות ההסתברות שיקרה:

P(A‾)\displaystyle P(\overline{A}) =\displaystyle = 1−P(A)\displaystyle 1-P(A)

בעיר שבדוגמה, ההסתברות שלתושב שנבחר באקראי סוג דם O היא 1900050000=0.38\displaystyle {\frac{19000}{50000}}={0.38}. לכן ההסתברות שסוג הדם שלו אינו O:

1−0.38=0.621-0.38=0.62
“לפחות” בעזרת המאורע המשלים

“לפחות” כולל כמה ערכים. לעיתים קל יותר לחשב את המאורע המשלים ולהחסיר מ-1.

מספר הילדים במשפחות של עיר אחת:

ילדים01234 או יותר
משפחות20%25%30%15%10%

בוחרים משפחה באקראי.

  • לפחות ילד אחד – המשלים: אין ילדים. 1−0.2=0.8\displaystyle {1-0.2}={0.8}
  • לפחות 2 ילדים – המשלים: 0 או 1 ילדים. 1−(0.2+0.25)=0.55\displaystyle {1-(0.2+0.25)}={0.55}

בדיקה: 0.3+0.15+0.1=0.55\displaystyle {0.3+0.15+0.1}={0.55}.

הגרלה

בהגרלה, כל כרטיס הוא תוצאה שוות סיכוי. ההסתברות לזכות היא מספר הכרטיסים שקניתם חלקי מספר הכרטיסים שנמכרו.

בהגרלה לטובת טיול שנתי נמכרו 2,000 כרטיסים, 10 ₪ לכרטיס.
הפרס: אופניים חשמליים בשווי 5,000 ₪.

  • כרטיס אחד: 12000=0.0005=0.05%\displaystyle {\frac{1}{2000}}={0.0005}={0.05\%}.
  • 20 כרטיסים, ב-200 ₪: 202000=0.01=1%\displaystyle {\frac{20}{2000}}={0.01}={1\%}.
  • המארגנים גבו 2000⋅10=20000\displaystyle {2000\cdot10}={20000} ₪ ונתנו פרס של 5,000 ₪: על כל 10 ₪ שמשלמים על כרטיס, חוזרים לקונים בממוצע 50002000=2.5\displaystyle {\frac{5000}{2000}}={2.5} ₪.

מי שקונה כרטיס תורם לטיול. כהשקעה, הכרטיס אינו משתלם.

תרגיל 1

ביום התרמת דם תרמו 200 אנשים.
סוגי הדם שלהם:

סוג דםOABAB
תורמים70664024

בוחרים מנה של דם באקראי. מה ההסתברות שסוג הדם שלה:

א

A?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    אינו O?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      B או AB?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        בעלון של תרופה כתוב: “סחרחורת – אצל 3 מכל 200 משתמשים”.

        א

        כתבו את ההסתברות שמשתמש יחוש סחרחורת כמספר עשרוני.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          כתבו אותה כאחוז.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            מספר המכוניות במשקי הבית של יישוב אחד:

            מכוניות0123 או יותר
            משקי בית15%45%30%10%

            בוחרים משק בית באקראי. מה ההסתברות שיש בו:

            א

            לפחות מכונית אחת?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              לפחות שתי מכוניות?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                בכל אחת משתי הגרלות יש פרס אחד.
                בהגרלה א’ נמכרו 300 כרטיסים, ודן קנה 3 מהם.
                בהגרלה ב’ נמכרו 800 כרטיסים, ודן קנה 6 מהם.

                א

                מה ההסתברות שדן יזכה בהגרלה א’?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  מה ההסתברות שדן יזכה בהגרלה ב’?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ג

                    באיזו הגרלה הסיכוי של דן לזכות גדול יותר? הסבירו.