ייצוגים ומעבר ביניהם

מדע וחברה, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 4 מתוך 15לימוד

ייצוגים ומעבר ביניהם

ארבעה ייצוגים של קשר אחד

את אותו קשר בין שתי כמויות אפשר לתאר בארבע דרכים: במילים, בטבלה, בגרף ובנוסחה. כל ייצוג מראה את אותו מידע מזווית אחרת.

במילים: במונית משלמים 12 ₪ על תחילת הנסיעה, ועוד 4 ₪ על כל קילומטר.

בטבלה:

ק"מ ( $\displaystyle x$ )	0	1	2	5	10
מחיר ב-₪ ( $\displaystyle y$ )	12	16	20	32	52

בנוסחה: $\displaystyle {y}={12+4x}$

בגרף:

\displaystyle y=12+4x

\displaystyle (0,12)

\displaystyle (5,32)

12, המחיר בתחילת הנסיעה, הוא הנקודה שבה הגרף פוגש את ציר $\displaystyle y$ .
4, התוספת לכל קילומטר, היא השיפוע: בכל צעד של 1 ימינה, הגרף עולה ב-4.

איזה ייצוג עונה על איזו שאלה

כל ייצוג מתאים לשאלות אחרות, ולכן עוברים מייצוג לייצוג לפי השאלה:

טבלה – ערכים מדויקים בכמה מקומות: נסיעה של 5 ק"מ עולה 32 ₪.
גרף – המגמה במבט אחד: איפה הערך עולה, כמה מהר, ואיפה שני קווים נפגשים.
נוסחה – כל ערך, גם כזה שאינו בטבלה: נסיעה של 23 ק"מ עולה $\displaystyle {12+4\cdot23}={104}$ ₪.
מילים – מה המספרים אומרים: מה משלמים, ועל מה.

תופעה מדעית בנוסחה

גם תופעות בטבע מתוארות לעיתים בקשר קווי, ואז הנוסחה מאפשרת לחשב ערכים שלא מדדו.

כשעולים לגובה, האוויר מתקרר: בערך 6.5 מעלות על כל קילומטר.
ביום קיץ הטמפרטורה בגובה פני הים היא 25 מעלות.

בנוסחה: $\displaystyle {T}={25-6.5h}$ , כש- $\displaystyle h$ הגובה בקילומטרים ו- $\displaystyle T$ הטמפרטורה במעלות.
בטבלה:

גובה בק"מ ( $\displaystyle h$ )	0	1	2	3
טמפרטורה ( $\displaystyle T$ )	25	18.5	12	5.5

בפסגת החרמון, בגובה של כ-2.2 ק"מ: $\displaystyle {T}={25-6.5\cdot2.2}={25-14.3}={10.7}$ מעלות.

מטבלה לנוסחה

כשבטבלה הערך של $\displaystyle y$ משתנה באותה כמות בכל צעד שווה של $\displaystyle x$ , הקשר קווי, ואפשר לכתוב אותו בנוסחה:

\displaystyle y=mx+b

$\displaystyle m$ – השינוי ב- $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle x$ גדל ב-1; $\displaystyle b$ – הערך של $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle {x}={0}$ .

מחיר חבילת סלולר לפי מספר דקות השיחה בחודש:

דקות ( $\displaystyle x$ )	0	100	200	300
מחיר ב-₪ ( $\displaystyle y$ )	30	35	40	45

בכל 100 דקות המחיר עולה ב-5 ₪ – תמיד באותה כמות, ולכן הקשר קווי.
לדקה אחת: $\displaystyle {\frac{5}{100}}={0.05}$ ₪. זה $\displaystyle m$ .
כש- $\displaystyle {x}={0}$ המחיר 30 ₪. זה $\displaystyle b$ .
הנוסחה: $\displaystyle {y}={30+0.05x}$ .

תרגיל 1

במכון כושר משלמים דמי הרשמה של 150 ₪, ועוד 120 ₪ לכל חודש.

כתבו נוסחה למחיר $\displaystyle y$ , בשקלים, לפי מספר החודשים $\displaystyle x$ .

כמה עולה מנוי לשנה שלמה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

הדליקו נר, ומדדו את הגובה שלו בכל שעה:

שעות ( $\displaystyle x$ )	0	1	2	3
גובה בס"מ ( $\displaystyle y$ )	24	21	18	15

כתבו נוסחה לגובה הנר $\displaystyle y$ לפי מספר השעות $\displaystyle x$ .

אחרי כמה שעות הנר ייגמר? כתבו משוואה ופתרו אותה.

תרגיל 3

בגרף: כמות המים במכל, בליטרים, לפי מספר הדקות מאז שפתחו את הברז שבתחתיתו.

סמנו על הגרף את הנקודה שבה המכל מתרוקן.

\displaystyle y=500-25x

הנוסחה של הגרף היא $\displaystyle {y}={500-25x}$ . מה אומרים המספרים 500 ו-25 על המכל?

תרגיל 4

שתי חבילות סלולר:
חבילה א’: 40 ₪ בחודש, ועוד 0.5 ₪ לכל דקת שיחה – בגרף, הקו $\displaystyle {y}={40+0.5x}$ .
חבילה ב’: 70 ₪ בחודש, ועוד 0.2 ₪ לכל דקת שיחה – בגרף, הקו $\displaystyle {y}={70+0.2x}$ .

סמנו את הנקודה שבה שתי החבילות עולות אותו מחיר.

\displaystyle y=40+0.5x

\displaystyle y=70+0.2x

נועה מדברת בערך 150 דקות בחודש. איזו חבילה כדאית לה? הסבירו בעזרת הגרף או בחישוב.

תרגיל 5

בסופת ברקים רואים את הברק מיד, ושומעים את הרעם רק כעבור כמה שניות: הקול עובר 0.34 ק"מ בשנייה.
המרחק לברק, בקילומטרים: $\displaystyle {d}={0.34t}$ , כש- $\displaystyle t$ מספר השניות בין הברק לרעם.

בין הברק לרעם עברו 6 שניות. כמה רחוק הברק?

ברק פגע 5.1 ק"מ מכם. כמה שניות יעברו עד שתשמעו את הרעם? פתרו את המשוואה.

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מידע וייצוגים

$\displaystyle p$ אחוזים מתוך $\displaystyle n$
$\displaystyle p\%\cdot n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p}{100}\cdot n$
שיעור ל-1,000 אנשים – $\displaystyle k$ מספר המקרים, $\displaystyle N$ מספר האנשים
$\displaystyle \frac{k}{N}\cdot1000$
קצב השינוי הממוצע בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
קשר קווי – $\displaystyle m$ השינוי ב- $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle x$ גדל ב-1, $\displaystyle b$ הערך של $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle {x}={0}$
$\displaystyle y=mx+b$

מדדי מרכז

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים מקובצים – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי המחלקות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$

הסתברות

תוצאות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר כל התוצאות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות $\displaystyle p_1$ , $\displaystyle p_2$ על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2$
מאורע של כמה מסלולים – סכום ההסתברויות שלהם
$\displaystyle P(A)=P_1+P_2+\ldots$
הערכת הסתברות משכיחות יחסית – $\displaystyle A$ קרה $\displaystyle f$ פעמים ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle P(A)\approx\frac{f}{n}$
מספר הפעמים הצפוי שמאורע $\displaystyle A$ יקרה ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle n\cdot P(A)$