ניסוי דו־שלבי: טבלה דו־ממדית ועץ

בטבלה דו־ממדית כל אדם נספר פעם אחת, לפי שתי שאלות יחד. כשבוחרים אדם באקראי מכל הטבלה, מחלקים בסך הכול.

בבית ספר בדקו, בחורף אחד, מי התחסן נגד שפעת ומי חלה בה:

בוחרים תלמיד באקראי מכל 800 התלמידים.

• ההסתברות שחלה: $\displaystyle \frac{93}{800}$.
• ההסתברות שהתחסן וגם חלה: $\displaystyle \frac{18}{800}$.

כשהשאלה היא על חלק מהאוכלוסייה – “מבין המתחסנים” – מחלקים בסך הכול של השורה, ולא בסך הכול של הטבלה.

• מבין 300 המתחסנים חלו 18: $\displaystyle {\frac{18}{300}}={0.06}={6\%}$.
• מבין 500 שלא התחסנו חלו 75: $\displaystyle {\frac{75}{500}}={0.15}={15\%}$.

בבית הספר הזה, מי שלא התחסן חלה בשפעת בשיעור גבוה פי 2.5 ממי שהתחסן.
את ההשוואה הזאת אי אפשר לעשות לפי המספרים עצמם, 18 ו-75: הקבוצות בגדלים שונים.

גם בדיקה טובה טועה לפעמים. כשהמחלה נדירה, רוב מי שהבדיקה שלהם יצאה חיובית – בריאים.

מחלה פוגעת ב-1% מהאוכלוסייה.
הבדיקה מגלה אותה אצל 90% מהחולים.
אצל 5% מהבריאים הבדיקה יוצאת חיובית בטעות.

נבנה טבלה של 10,000 אנשים שנבדקו:

• חולים: 1% מ-10,000, כלומר 100. הבדיקה חיובית אצל 90% מהם: 90.
• בריאים: 9,900. הבדיקה חיובית אצל 5% מהם: $\displaystyle {0.05\cdot9900}={495}$.

מבין 585 בעלי בדיקה חיובית, חולים רק 90:

לכן אחרי בדיקה חיובית עושים בדיקה נוספת, לפני שקובעים שאדם חולה.

כשהשלב השני אינו תלוי בתוצאה של השלב הראשון, מציירים דיאגרמת עץ – כמו בכיתה ט’. ההסתברות של מסלול היא מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו:

בדרך לבית הספר יש שני רמזורים.
ההסתברות להגיע לראשון כשהוא ירוק היא $\displaystyle \frac{2}{5}$, ולשני – $\displaystyle \frac{1}{2}$.
בעץ מסומן המסלול “שני הרמזורים ירוקים”:

• שני הרמזורים ירוקים: $\displaystyle {\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}}={\frac{1}{5}}$.
• לפחות רמזור אדום אחד – המאורע המשלים: $\displaystyle {1-\frac{1}{5}}={\frac{4}{5}}$.

בסקר בקרב 400 נהגים שאלו אם הם משתמשים בטלפון בזמן נהיגה, ואם היו מעורבים בתאונה בשלוש השנים האחרונות:

בוחרים נהג באקראי מכל הנהגים בסקר. מה ההסתברות שהיה בתאונה?

מה ההסתברות שנהג שמשתמש בטלפון היה בתאונה?

מה ההסתברות שנהג שאינו משתמש בטלפון היה בתאונה?

האם הסקר מוכיח שהשימוש בטלפון גורם לתאונות? הסבירו.

שחקנית כדורגל מבקיעה פנדל בהסתברות $\displaystyle \frac{4}{5}$.
היא בועטת שני פנדלים, וכל בעיטה אינה תלויה בקודמת.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.
סמנו את המסלולים של המאורע “היא מבקיעה לפחות פעם אחת”, ומצאו את ההסתברות שלו.

ההסתברות שתינוק שנולד הוא בן היא בערך $\displaystyle \frac{51}{100}$.
במשפחה נולדים שני ילדים.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

מה ההסתברות ששני הילדים בנות?

מה ההסתברות שבמשפחה יש לפחות בן אחד?

בוועד הכיתה 6 בנות ו-4 בנים.
מגרילים שניים מהם לייצג את הכיתה במועצת התלמידים, אחד אחרי השני.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.
מה ההסתברות ששני הנציגים בנות?

בבדיקה של 2,000 אנשים, ל-100 מהם יש מחלה מסוימת.
הבדיקה יצאה חיובית אצל 80 מהחולים.
אצל 190 מהבריאים הבדיקה יצאה חיובית בטעות.

מה ההסתברות שאדם שהבדיקה שלו חיובית חולה באמת?

רוני קיבל תוצאה חיובית. מה הייתם אומרים לו? הסבירו בעזרת התשובה לסעיף א'.