השוואת פיזור בין קבוצות

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 10 מתוך 16לימוד

השוואת פיזור בין קבוצות

סטיית התקן מטבלת שכיחויות

כשהנתונים מסודרים בטבלת שכיחויות, כל ריבוע של סטייה נכפל בשכיחות שלו – כמו בממוצע משוקלל – ומחלקים בסכום השכיחויות:

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}

מספר הילדים ב-20 משפחות בשכונה:

מספר ילדים $\displaystyle x$	0	1	2	3	4	סכום
משפחות $\displaystyle f$	2	4	8	4	2	20
$\displaystyle x-\bar{x}$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle f(x-\bar{x})^2$	8	4	0	4	8	24

הממוצע: $\displaystyle {\bar{x}}={\frac{2\cdot0+4\cdot1+8\cdot2+4\cdot3+2\cdot4}{20}}={\frac{40}{20}}={2}$ .
סטיית התקן: $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{\frac{24}{20}}}={\sqrt{1.2}\approx1.10}$ ילדים.

סטיית תקן גדולה וקטנה

סטיית תקן קטנה אומרת שרוב הנתונים קרובים לממוצע; סטיית תקן גדולה – שהרבה נתונים רחוקים ממנו, למעלה ולמטה.

בשתי כיתות הממוצע במבחן 75.
בכיתה א’ סטיית התקן 5, ובכיתה ב’ – 15.
בכל כיתה 30 תלמידים. בתרשים: כמה תלמידים קיבלו ציון בכל תחום.

בכיתה א’ כמעט כל הציונים בין 60 ל-89.
בכיתה ב’ יש גם ציונים מתחת ל-50, וגם של 90 ומעלה.
הממוצע לבדו אינו מבדיל בין הכיתות. סטיית התקן מבדילה.

בחירה לפי סטיית התקן

כששתי אפשרויות נותנות בממוצע אותו דבר, סטיית התקן אומרת איזו מהן יציבה יותר – ולפעמים זה מה שקובע.

במפעל שתי מכונות ממלאות בקבוקים של 500 מ"ל.
מכונה א’: ממוצע 500 מ"ל, סטיית תקן 2 מ"ל.
מכונה ב’: ממוצע 500 מ"ל, סטיית תקן 8 מ"ל.

בממוצע שתי המכונות ממלאות בדיוק 500 מ"ל.
במכונה ב’ יהיו הרבה בקבוקים חסרים – והקונה יתלונן – והרבה בקבוקים מלאים מדי, שעולים כסף למפעל.
המפעל יעדיף את מכונה א’, שהמילוי שלה יציב יותר.

הוספה וכפל של כל הנתונים

כשמוסיפים אותו מספר לכל הנתונים, כל הנתונים זזים יחד, והפיזור לא משתנה. כשכופלים את כל הנתונים במספר, גם המרחקים ביניהם נכפלים.

ארבעה ציונים בבוחן מתוך 50: 30, 30, 40, 40.
הממוצע 35, וסטיית התקן 5 (כל ציון רחוק 5 מהממוצע).

המורה מוסיפה לכל ציון 5 נקודות: 35, 35, 45, 45. הממוצע עולה ל-40, וסטיית התקן נשארת 5.
הופכים לציון מתוך 100 – כופלים ב-2: 60, 60, 80, 80. הממוצע 70, וסטיית התקן גדלה פי 2, ל-10.

דיאגרמת קופסה

דיאגרמת קופסה מראה בציור אחד איפה נמצא האמצע של הנתונים וכמה הם מפוזרים. כך משווים פיזור של שתי קבוצות במבט אחד.

זמן ההגעה לבית הספר, בדקות, של תשעה תלמידים בכל אחת משתי כיתות:
כיתה א’: 10, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18.
כיתה ב’: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 22, 25, 30.

הקו שבתוך הקופסה הוא החציון: בשתי הכיתות 15 דקות.
הקופסה מכילה את חצי הנתונים שבאמצע; הקווים שמשני צדיה מגיעים עד הנתון הקטן ביותר והגדול ביותר.
בכיתה ב’ הקופסה והקווים רחבים בהרבה: זמני ההגעה מפוזרים יותר.

תרגיל 1

הציונים בבוחן מתוך 10, של 10 תלמידים:

ציון	6	7	8	9	10
תלמידים	1	2	4	2	1

חשבו את הממוצע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את סטיית התקן, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 2

מאמן בוחר רץ לשליחים של 100 מטר.
הזמנים של רץ א’ בחמש ריצות, בשניות: 12.4, 12.5, 12.5, 12.5, 12.6.
הזמנים של רץ ב’: 12.1, 12.3, 12.5, 12.7, 12.9.
לשניהם ממוצע 12.5 שניות.

חשבו את סטיית התקן של הזמנים של רץ ב’, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטיית התקן של רץ א’ היא בערך 0.06 שניות. את מי כדאי למאמן לבחור, אם הוא רוצה תוצאה שאפשר לסמוך עליה? הסבירו.

תרגיל 3

במבחן בכיתה הממוצע היה 70, וסטיית התקן 12.
המורה החליטה להוסיף 5 נקודות לכל ציון.

מה הממוצע החדש?

מה סטיית התקן החדשה?

תרגיל 4

זמני המשלוח, בדקות, של תשע הזמנות משתי פיצריות:

מהו החציון של זמני המשלוח בפיצה מהירה?

אתם מזמינים פיצה למסיבה שמתחילה בעוד 40 דקות. מאיזו פיצרייה תזמינו? הסבירו בעזרת הפיזור.

תרגיל 5

בשתי כיתות הממוצע במבחן 80.
בכיתה א’ סטיית התקן 4, ובכיתה ב’ – 15.

באיזו כיתה סביר יותר למצוא ציון נמוך מ-60? הסבירו.

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$