הסתברות מותנית ומאורעות תלויים

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 13 מתוך 16לימוד

הסתברות מותנית ומאורעות תלויים

הסתברות מותנית מטבלה דו־ממדית

הסתברות מותנית היא ההסתברות למאורע $\displaystyle A$ כשכבר ידוע שמאורע $\displaystyle B$ קרה. כותבים $\displaystyle P(A|B)$ , וקוראים “ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$ ”. בטבלה דו־ממדית מחלקים בסך הכול של השורה (או של העמודה) של $\displaystyle B$ .

בסקר בקרב 500 תלמידים שאלו אם הם עוסקים בספורט באופן קבוע, וכמה שעות הם ישנים בלילה:

	ישנים 8 שעות ומעלה	ישנים פחות	סך הכול
עוסקים בספורט	120	80	200
לא עוסקים בספורט	105	195	300
סך הכול	225	275	500

$\displaystyle A$ – התלמיד ישן 8 שעות ומעלה; $\displaystyle B$ – התלמיד עוסק בספורט.

מכל התלמידים: $\displaystyle {P(A)}={\frac{225}{500}}={0.45}$ .
מבין 200 העוסקים בספורט: $\displaystyle {P(A|B)}={\frac{120}{200}}={0.6}$ .

הנוסחה של הסתברות מותנית

כשנתונות הסתברויות ולא טבלה, ההסתברות המותנית היא ההסתברות של “גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$ ” מחולקת בהסתברות של $\displaystyle B$ . “גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$ ” כותבים $\displaystyle A\cap B$ .

\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

בסקר: $\displaystyle {P(A\cap B)}={\frac{120}{500}}={0.24}$ ו- $\displaystyle {P(B)}={\frac{200}{500}}={0.4}$ .

P(A|B)=\frac{0.24}{0.4}=0.6

זו אותה תוצאה כמו בטבלה: שני השברים מחולקים באותו מספר, 500.

מאורעות תלויים ובלתי תלויים

שני מאורעות תלויים כשהידיעה שאחד מהם קרה משנה את ההסתברות של השני. הם בלתי תלויים כשהיא לא משנה אותה.

בסקר: $\displaystyle {P(A)}={0.45}$ , אבל $\displaystyle {P(A|B)}={0.6}$ . המאורעות תלויים – בין העוסקים בספורט יש יותר ישנים 8 שעות.
תלות אינה בהכרח סיבה: הסקר לא מראה שהספורט גורם לשינה טובה. אולי גורם שלישי, כמו סדר יום קבוע, משפיע על שניהם.
הטלת מטבע ויום בשבוע בלתי תלויים: ביום ראשון ובכל יום אחר ההסתברות לעץ היא $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

חברת ביטוח בדקה 400 נהגים:

	היו בתאונה	לא היו בתאונה	סך הכול
מכונית לבנה	8	92	100
מכונית בצבע אחר	24	276	300
סך הכול	32	368	400

ההסתברות לתאונה, מכל הנהגים: $\displaystyle {\frac{32}{400}}={0.08}$ .
ההסתברות לתאונה, מבין נהגי המכוניות הלבנות: $\displaystyle {\frac{8}{100}}={0.08}$ .

ההסתברות שווה, ולכן לפי הנתונים האלה צבע המכונית והתאונה בלתי תלויים. כשמאורעות בלתי תלויים:

\displaystyle P(A|B)=P(A)

דיאגרמת עץ עם הסתברויות מותנות

בדיאגרמת עץ, ההסתברות על ענף בשלב השני היא הסתברות מותנית: ההסתברות לתוצאה הזאת בהינתן התוצאה של השלב הראשון. לכן מכפלת הענפים במסלול היא:

\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)

בקופסה 12 פרלינים: 5 עם אגוזים ו-7 בלי.
עומר לוקח פרלין, אוכל אותו, ולוקח עוד אחד.
בעץ מסומן המסלול “שניהם עם אגוזים”:

הראשון עם אגוזים: $\displaystyle \frac{5}{12}$ .
השני עם אגוזים, בהינתן שהראשון עם אגוזים: נשארו 4 מתוך 11, כלומר $\displaystyle \frac{4}{11}$ .
שניהם עם אגוזים: $\displaystyle {\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{11}}={\frac{20}{132}}={\frac{5}{33}}$ .

אם הראשון בלי אגוזים, ההסתברות שהשני עם אגוזים היא $\displaystyle \frac{5}{11}$ – לא $\displaystyle \frac{4}{11}$ . השלב השני תלוי בשלב הראשון.

תרגיל 1

במחקר בדקו 1,000 אנשים בני 60 ומעלה: מי מעשן, ומי חלה במחלת ריאות.

	חלו	לא חלו	סך הכול
מעשנים	30	170	200
לא מעשנים	20	780	800
סך הכול	50	950	1,000

בוחרים אדם באקראי מכל המשתתפים. מה ההסתברות שחלה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה ההסתברות שאדם חלה, בהינתן שהוא מעשן?

מה ההסתברות שאדם חלה, בהינתן שהוא לא מעשן?

האם המאורעות “מעשן” ו"חלה" תלויים? הסבירו בעזרת התשובות.

תרגיל 2

בתיכון, 40% מהתלמידים שרים במקהלה.
12% מהתלמידים גם שרים במקהלה וגם מנגנים בכלי נגינה.

בוחרים באקראי תלמיד ששר במקהלה. מה ההסתברות שהוא מנגן בכלי נגינה?

תרגיל 3

בבית ספר בדקו 600 תלמידים: מי מרכיב משקפיים, ומי נולד בחורף.

	מרכיבים משקפיים	לא מרכיבים	סך הכול
נולדו בחורף	45	105	150
נולדו בעונה אחרת	135	315	450
סך הכול	180	420	600

בוחרים תלמיד באקראי מכל התלמידים. מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים?

מה ההסתברות שתלמיד מרכיב משקפיים, בהינתן שנולד בחורף?

האם המאורעות “מרכיב משקפיים” ו"נולד בחורף" תלויים? הסבירו.

תרגיל 4

בשקית 3 גולות אדומות ו-5 כחולות.
מוציאים גולה, לא מחזירים אותה, ומוציאים עוד גולה.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

מה ההסתברות ששתי הגולות אדומות?

מה ההסתברות שהגולה השנייה אדומה, בהינתן שהראשונה אדומה?

תרגיל 5

ההסתברות שהרכבת של אבי תאחר היא $\displaystyle 0.2$ .
כשהרכבת מאחרת, ההסתברות שאבי יפספס את תחילת הפגישה היא $\displaystyle 0.5$ .
כשהיא מגיעה בזמן, ההסתברות הזאת היא $\displaystyle 0.05$ .

מה ההסתברות שהרכבת תאחר וגם אבי יפספס את תחילת הפגישה?

מה ההסתברות שאבי יפספס את תחילת הפגישה?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$