דעיכה באחוזים

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 3 מתוך 16לימוד

דעיכה באחוזים

גורם הדעיכה

כשכמות קטנה ב- $\displaystyle p$ אחוזים, נשארים ממנה $\displaystyle 100\%-p\%$ . לכן דעיכה של $\displaystyle p\%$ היא כפל בגורם הדעיכה, מספר בין 0 ל-1:

\displaystyle q=1-\frac{p}{100}

חולה קיבל תרופה, ובדם שלו יש עכשיו 400 מ"ג ממנה.
בכל שעה הכבד מפרק 20% מהתרופה שבדם.

גורם הדעיכה: $\displaystyle {q}={1-\frac{20}{100}}={0.8}$ – בכל שעה נשארים 80% ממה שהיה.

שעות	0	1	2	3	4
תרופה בדם (מ"ג)	400	320	256	204.8	163.84

אחרי 5 שעות: $\displaystyle {400\cdot0.8^{5}}={131.072\approx131}$ מ"ג.
בכל שעה הכמות קטנה בפחות: בשעה הראשונה ירדו 80 מ"ג, ובשעה הרביעית – בערך 41.

כמות שאינה מגיעה ל-0

בדעיכה מעריכית נשאר בכל שעה חלק ממה שהיה, ולכן הכמות קטנה כל הזמן אבל אינה מגיעה ל-0.

אחרי 20 שעות: $\displaystyle 400\cdot0.8^{20}\approx4.6$ מ"ג – מעט, אבל לא 0.
בפועל, כשהכמות קטנה מאוד אי אפשר כבר למדוד אותה, והרופאים אומרים שהתרופה “יצאה מהגוף”.

כוס תה שמתקררת

כוס תה מתקררת עד הטמפרטורה של החדר. מה שדועך הוא ההפרש בין הטמפרטורה של התה לטמפרטורה של החדר.

בחדר 20 מעלות.
התה נמזג בטמפרטורה 90 מעלות – 70 מעלות יותר מהחדר.
בכל דקה ההפרש קטן ב-10%.

ההפרש אחרי $\displaystyle t$ דקות: $\displaystyle 70\cdot0.9^{t}$ .
הטמפרטורה של התה: החדר ועוד ההפרש, $\displaystyle 20+70\cdot0.9^{t}$ .
אחרי 5 דקות: $\displaystyle {20+70\cdot0.9^{5}}={61.3343\approx61.3}$ מעלות.

ההפרש מתקרב ל-0, ולכן התה מתקרב ל-20 מעלות – ואינו מתקרר מתחת לטמפרטורה של החדר.

אחוז הדעיכה מטבלה

בטבלה של דעיכה, ערך מחולק בערך שלפניו נותן את גורם הדעיכה. אחוז הדעיכה הוא מה שחסר ל- $\displaystyle q$ עד 1, באחוזים.

שעות	0	1	2
חומר (גרם)	1,000	850	722.5

$\displaystyle {\frac{850}{1000}}={0.85}$ וגם $\displaystyle {\frac{722.5}{850}}={0.85}$ , לכן $\displaystyle {q}={0.85}$ .
$\displaystyle {0.85}={1-\frac{15}{100}}$ : בכל שעה הכמות קטנה ב-15%.

תרגיל 1

בדם של חולה 500 מ"ג של תרופה.
בכל שעה הכמות בדם קטנה ב-30%.

מהו גורם הדעיכה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מ"ג של התרופה יהיו בדם אחרי 3 שעות?

האם יגיע זמן שבו בדם יהיו בדיוק 0 מ"ג של התרופה? הסבירו.

תרגיל 2

בגלל זיהום, מספר הדגים באגם קטן ב-5% בכל שנה.
עכשיו יש באגם 8,000 דגים.

כמה דגים יהיו באגם אחרי 6 שנים, אם הזיהום יימשך? עגלו למספר שלם.

תרגיל 3

מרק חם הונח בחדר שבו 20 מעלות.
בהתחלה המרק היה 60 מעלות חם יותר מהחדר.
בכל דקה ההפרש בין המרק לחדר קטן ב-20%.

מה הטמפרטורה של המרק אחרי 4 דקות? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

תרגיל 4

כמות חומר מזהם במי נחל, אחרי שהפסיקו להזרים אליו שפכים:

שבועות	0	1	2
חומר מזהם (ק"ג)	2,000	1,700	1,445

מהו גורם הדעיכה?

בכמה אחוזים קטנה כמות החומר המזהם בכל שבוע?

תרגיל 5

בכל שעה הכמות של תרופה בדם קטנה ב-20%.
שעה אחרי שהתרופה ניתנה, נשארו בדם 240 מ"ג.

כתבו משוואה ופתרו אותה: כמה מ"ג של התרופה ניתנו?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$