דלג לתוכן

תוחלת

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 14 מתוך 16לימוד

תוחלת

הרווח הממוצע במשחק

כדי לדעת אם משחק משתלם, מחשבים כמה מרוויחים בו בממוצע לסיבוב – אם משחקים פעמים רבות.

ביריד יש גלגל מזל עם 10 גזרות שוות:
בגזרה אחת הפרס 50 ₪, בשלוש גזרות הפרס 10 ₪, ובשש הגזרות האחרות אין פרס.
סיבוב עולה 10 ₪.

הרווח הוא הפרס פחות מחיר הסיבוב:

הרווח (₪)400−10\displaystyle -10
ההסתברות0.1\displaystyle 0.10.3\displaystyle 0.30.6\displaystyle 0.6

ב-1,000 סיבובים יוצא בערך 100 פעם רווח של 40 ₪, 300 פעם רווח 0, ו-600 פעם הפסד של 10 ₪:

100⋅40+300⋅0+600⋅(−10)1000=4000−60001000=−2\frac{100\cdot40+300\cdot0+600\cdot(-10)}{1000}=\frac{4000-6000}{1000}=-2

בממוצע, השחקן מפסיד 2 ₪ בכל סיבוב.

נוסחת התוחלת

התוחלת היא הממוצע של התוצאות בניסוי שחוזרים עליו פעמים רבות. כופלים כל ערך בהסתברות שלו, ומחברים – כמו בממוצע משוקלל, שבו המשקלים הם ההסתברויות.

E=x1p1+x2p2+⋯+xkpk\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k

בגלגל המזל:

E=40⋅0.1+0⋅0.3+(−10)⋅0.6=4+0−6=−2E=40\cdot0.1+0\cdot0.3+(-10)\cdot0.6=4+0-6=-2
  • תוחלת שלילית – בממוצע מפסידים; חיובית – בממוצע מרוויחים.
  • בסיבוב אחד אי אפשר להפסיד בדיוק 2 ₪: התוחלת מתארת את הממוצע לאורך זמן, לא סיבוב אחד.
משחק הוגן

משחק הוגן הוא משחק שהתוחלת של הרווח בו היא 0: לאורך זמן לא השחקן ולא המארגן מרוויחים.

בגלגל המזל, הפרס הממוצע לסיבוב:

50⋅0.1+10⋅0.3+0⋅0.6=5+3=850\cdot0.1+10\cdot0.3+0\cdot0.6=5+3=8
  • אילו סיבוב עלה 8 ₪, המשחק היה הוגן.
  • הוא עולה 10 ₪, ולכן היריד מרוויח בממוצע 2 ₪ מכל סיבוב.
דמי ביטוח והתשלום הצפוי

חברת ביטוח קובעת את דמי הביטוח לפי התוחלת של מה שהיא תשלם, ומוסיפה עליה את הרווח שלה.

ביטוח לטלפון נייד עולה 120 ₪ לשנה.
ההסתברות שטלפון יישבר בשנה היא 0.05\displaystyle 0.05.
כשטלפון נשבר, החברה משלמת 1,500 ₪.

  • התשלום הצפוי ללקוח: 1500⋅0.05+0⋅0.95=75\displaystyle {1500\cdot0.05+0\cdot0.95}={75} ₪.
  • הרווח הצפוי של החברה מכל לקוח: 120−75=45\displaystyle {120-75}={45} ₪; מ-10,000 לקוחות – בערך 450,000 ₪.
  • ללקוח התוחלת שלילית, −45\displaystyle -45 ₪, ובכל זאת אנשים מבטחים: הם משלמים סכום קטן וידוע כדי לא להפסיד בבת אחת סכום גדול.
כרטיס הגרלה

בהגרלה, התוחלת של הפרס קטנה ממחיר הכרטיס – כך ממומנים הפרסים והרווח של מי שמארגן.

כרטיס הגרלה עולה 5 ₪.
כרטיס אחד מתוך 500 זוכה ב-1,000 ₪.
כרטיס אחד מתוך 50 זוכה ב-20 ₪.

  • הפרס הצפוי לכרטיס: 1000⋅1500+20⋅150=2+0.4=2.4\displaystyle {1000\cdot\frac{1}{500}+20\cdot\frac{1}{50}}={2+0.4}={2.4} ₪.
  • הרווח הצפוי: 2.4−5=−2.6\displaystyle {2.4-5}={-2.6} ₪ לכרטיס.
תרגיל 1

בדוכן ביום הורים מטילים קובייה אחת. השתתפות עולה 4 ₪.
מי שמקבל 6 זוכה ב-15 ₪.
מי שמקבל 4 או 5 זוכה ב-6 ₪.
מי שמקבל 1, 2 או 3 לא זוכה בכלום.

א

חשבו את הפרס הצפוי בהטלה אחת.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את התוחלת של הרווח של השחקן בהטלה אחת.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      ועד ההורים רוצה לגייס כסף לטיול השנתי. האם כדאי לו להפעיל את הדוכן כך? הסבירו.

      תרגיל 2

      באפליקציה של רשת קפה מסובבים גלגל פעם ביום:

      הפרס (₪)100200
      ההסתברות0.05\displaystyle 0.050.25\displaystyle 0.250.7\displaystyle 0.7
      א

      חשבו את הפרס הצפוי בסיבוב אחד.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        ביריד מציעים את אותו גלגל, וסיבוב עולה 12 ₪. חשבו את התוחלת של הרווח בסיבוב.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          ביטוח נגד גניבה של מכונית עולה 900 ₪ לשנה.
          ההסתברות שמכונית תיגנב בשנה היא 0.008\displaystyle 0.008.
          כשמכונית נגנבת, החברה משלמת 60,000 ₪.

          א

          חשבו את התשלום הצפוי של החברה ללקוח אחד בשנה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            לחברה 2,000 לקוחות. כמה היא צפויה להרוויח בשנה?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              במשחק מטילים שתי קוביות ומחברים את המספרים. השתתפות עולה 4 ₪.
              סכום 12 זוכה ב-70 ₪.
              סכום 7 זוכה ב-10 ₪.
              כל סכום אחר לא זוכה בכלום.

              סמנו בטבלה את התוצאות שזוכות בפרס.

              א

              מה ההסתברות לזכות בפרס כלשהו?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                חשבו את התוחלת של הרווח של השחקן במשחק אחד.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 5

                  שחקנית כדורסל קולעת זריקה לשלוש נקודות בהסתברות 0.35\displaystyle 0.35, וזריקה לשתי נקודות בהסתברות 0.5\displaystyle 0.5.

                  א

                  חשבו את התוחלת של מספר הנקודות בזריקה לשלוש.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    חשבו את התוחלת של מספר הנקודות בזריקה לשתיים.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      איזו זריקה מביאה לקבוצה יותר נקודות לאורך משחק שלם? הסבירו.