הגרף של תהליך מעריכי

גרף של גדילה מעריכית

בגרף של תהליך מעריכי הזמן הוא $\displaystyle x$ והכמות היא $\displaystyle y$ , ולכן הנוסחה שלו היא $\displaystyle {y}={M_0\cdot q^{x}}$ .

בגרף: מספר החיידקים בצלחת, כשהוא גדל פי 2 בכל שעה – $\displaystyle {y}={100\cdot2^{x}}$ .

\displaystyle y=100\cdot2^{x}

\displaystyle (0,100)

\displaystyle (1,200)

\displaystyle (2,400)

\displaystyle (3,800)

הגרף חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,\ 100)$ : כש- $\displaystyle {x}={0}$ , $\displaystyle {y}={M_0}$ – הכמות בהתחלה.
$\displaystyle {q}={2}$ גדול מ-1, ולכן הגרף עולה.
הגרף עולה מהר יותר ויותר: משעה 0 עד שעה 1 הוא עולה ב-100, ומשעה 2 עד שעה 3 – ב-400.

גרף של דעיכה מעריכית

כש- $\displaystyle q$ בין 0 ל-1, הגרף יורד.

בגרף: אחוז התרופה שנשאר בדם, כשהוא קטן ב-20% בכל שעה – $\displaystyle {y}={100\cdot0.8^{x}}$ .

\displaystyle y=100\cdot0.8^{x}

\displaystyle (0,100)

זמן שקוראים מהגרף

כדי למצוא מתי הכמות מגיעה לערך מסוים, מעבירים קו ישר אופקי בגובה הערך, ומחפשים איפה הוא פוגש את הגרף.

מתי יהיו 600 חיידקים?

\displaystyle y=100\cdot2^{x}

\displaystyle y=600

\displaystyle (2.585,600)

הקו $\displaystyle {y}={600}$ פוגש את הגרף מעל $\displaystyle x$ שבין 2 ל-3, קרוב יותר ל-3: בערך 2.6.
כלומר בערך שעתיים וחצי מההתחלה יהיו 600 חיידקים.

זמן שמוצאים בהצבת ערכים

בלי גרף, מוצאים את הזמן בהצבת ערכים של $\displaystyle t$ בנוסחה, עד שהכמות עוברת את הערך.

באזור מסוים יש 500 צבאים.
מספר הצבאים גדל ב-20% בכל שנה.
מתי יהיו יותר מ-2,000 צבאים?

שנים $\displaystyle t$	6	7	8
$\displaystyle 500\cdot1.2^{t}$	1,492.99	1,791.59	2,149.91

תרגיל 1

בגרף: מספר התאים בתרבית, בכל שעה מתחילת הניסוי – $\displaystyle {y}={50\cdot2^{x}}$ .

סמנו את הנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ , ואת הנקודה שבה יש בתרבית 400 תאים.

\displaystyle y=50\cdot2^{x}

\displaystyle y=400

תרגיל 2

בגרף: כמות חומר רדיואקטיבי, בגרמים, בכל יום – $\displaystyle {y}={400\cdot0.5^{x}}$ .

סמנו את הנקודה שבה נשארים 50 גרם.

\displaystyle y=400\cdot0.5^{x}

\displaystyle y=50

תרגיל 3

הגרף מתאר תהליך מעריכי $\displaystyle {y}={M_0\cdot q^{x}}$ , והנקודות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle B$ עליו.

קראו מהגרף את $\displaystyle M_0$ , חשבו את $\displaystyle q$ , וכתבו את הנוסחה של הגרף.

\displaystyle y=\,?

\displaystyle A=(0,200)

\displaystyle B=(1,300)

תרגיל 4

בעיירה 6,000 תושבים.
מספר התושבים גדל ב-5% בכל שנה.

כמה תושבים יהיו אחרי 5 שנים? עגלו למספר שלם.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה תושבים יהיו אחרי 6 שנים? עגלו למספר שלם.

באיזו שנה מספר התושבים יעבור את 8,000?

תרגיל 5

בדם של חולה 400 מ"ג של תרופה.
בכל שעה הכמות בדם קטנה ב-20%.
מתחת ל-100 מ"ג התרופה כבר אינה פועלת.

כמה מ"ג יהיו בדם אחרי 6 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

כמה מ"ג יהיו בדם אחרי 7 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

אחרי כמה שעות שלמות התרופה כבר אינה פועלת?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$