גדילה מעריכית: גורם הגדילה

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 1 מתוך 16לימוד

גדילה מעריכית: גורם הגדילה

חיידקים שמכפילים את מספרם

חיידק מתחלק לשניים, וכל אחד מהשניים מתחלק שוב. לכן בכל פרק זמן קבוע מספר החיידקים מוכפל.

בצלחת במעבדה יש 500 חיידקים.
בכל שעה מספר החיידקים גדל פי 2.

שעות מההתחלה	0	1	2	3	4
מספר החיידקים	500	1,000	2,000	4,000	8,000

כל ערך בטבלה הוא הערך הקודם כפול 2.
אחרי 4 שעות כפלנו ב-2 ארבע פעמים: $\displaystyle {500\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}={500\cdot2^{4}}={8000}$ .
אחרי 10 שעות: $\displaystyle {500\cdot2^{10}}={500\cdot1024}={512{,}000}$ – יותר מפי 1,000 מההתחלה.

תהליך מעריכי וגורם הגדילה

תהליך מעריכי הוא תהליך שבו בכל יחידת זמן הכמות מוכפלת באותו מספר. המספר הזה נקרא גורם הגדילה, ומסמנים אותו $\displaystyle q$ .

אצל החיידקים יחידת הזמן היא שעה, וגורם הגדילה $\displaystyle {q}={2}$ .
כשהכמות גדלה, $\displaystyle q$ גדול מ-1. כשהיא קטנה – $\displaystyle q$ בין 0 ל-1 (בשיעור על דעיכה).
בגדילה מעריכית הכמות גדלה בכל שעה ביותר: מ-500 ל-1,000 נוספו 500 חיידקים, ומ-4,000 ל-8,000 נוספו 4,000.

הנוסחה של תהליך מעריכי

אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן, הכמות בהתחלה הוכפלה $\displaystyle t$ פעמים בגורם הגדילה:

\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}

$\displaystyle M_0$ – הכמות בהתחלה;
$\displaystyle q$ – גורם הגדילה;
$\displaystyle M_t$ – הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן.

ברשת חברתית חדשה נרשמו בשבוע הראשון 200 משתמשים.
בכל שבוע מספר המשתמשים גדל פי 3.
כמה משתמשים יהיו אחרי 6 שבועות?

M_6=200\cdot3^{6}=200\cdot729=145{,}800

במחשבון מחשבים חזקה במקש $\displaystyle x^y$ (או $\displaystyle \wedge$ ): 3, אחר כך המקש, אחר כך 6.

איך מזהים טבלה מעריכית

בטבלה של תהליך מעריכי, כל ערך מחולק בערך שלפניו נותן את אותו מספר – את גורם הגדילה.

מספר התושבים בעיירה חדשה, בתחילת כל שנה:

שנה	0	1	2	3
תושבים	4,000	4,400	4,840	5,324

$\displaystyle {\frac{4400}{4000}}={1.1}$ , $\displaystyle {\frac{4840}{4400}}={1.1}$ , $\displaystyle {\frac{5324}{4840}}={1.1}$ – בכל שנה מספר התושבים מוכפל ב-1.1.
התהליך מעריכי, $\displaystyle {M_0}={4000}$ ו- $\displaystyle {q}={1.1}$ .
ההפרשים לא שווים: נוספו 400, אחר כך 440, אחר כך 484.

תרגיל 1

בניסוי במעבדה יש 300 חיידקים.
בכל שעה מספר החיידקים גדל פי 3.

כמה חיידקים יהיו אחרי 2 שעות?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה חיידקים יהיו אחרי 5 שעות?

תרגיל 2

מספר הצפיות בסרטון ביום שבו עלה לרשת, ובשלושת הימים שאחריו:

יום	0	1	2	3
צפיות	800	1,200	1,800	2,700

חשבו את גורם הגדילה: חלקו את מספר הצפיות ביום 1 במספר הצפיות ביום 0.

אם הגדילה תימשך כך, כמה צפיות יהיו ביום 5?

תרגיל 3

שמועה מתפשטת בבית ספר.
ביום הראשון שני תלמידים יודעים אותה.
בכל יום מספר היודעים גדל פי 3.

כמה תלמידים יודעים את השמועה אחרי 6 ימים?

תרגיל 4

לפניכם שתי טבלאות של כמות שמשתנה עם הזמן.

זמן	0	1	2	3
כמות א'	50	100	150	200
כמות ב'	50	100	200	400

איזו מהכמויות משתנה בתהליך מעריכי? הסבירו בעזרת חילוק כל ערך בערך שלפניו.

תרגיל 5

מספר הדבורים בכוורת גדל בכל חודש פי 1.2.
אחרי חודש אחד היו בכוורת 6,000 דבורים.

כתבו משוואה ופתרו אותה: כמה דבורים היו בכוורת בהתחלה?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$