זמן מחצית חיים

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 4 מתוך 16לימוד

זמן מחצית חיים

חומר רדיואקטיבי מתפרק מעצמו, וכמותו דועכת באופן מעריכי. זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו מתפרקת מחצית מהכמות. הוא קבוע לכל חומר: בכל זמן מחצית חיים הכמות קטנה פי 2, מכל כמות שהיא.

ברפואה משתמשים ביוד-131 לטיפול בבלוטת התריס.
זמן מחצית החיים שלו 8 ימים.
מטופל קיבל 80 מיליגרם.

ימים	0	8	16	24	32
יוד-131 (מ"ג)	80	40	20	10	5

בכל 8 ימים הכמות מוכפלת ב- $\displaystyle \frac{1}{2}$ .
יחידת הזמן כאן היא זמן מחצית החיים, 8 ימים – לא יום.

הנוסחה לפי זמני מחצית חיים

כדי לחשב את הכמות, סופרים כמה זמני מחצית חיים עברו – $\displaystyle n$ – וכופלים $\displaystyle n$ פעמים ב- $\displaystyle \frac{1}{2}$ :

\displaystyle n=\frac{t}{T}

\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

$\displaystyle t$ – הזמן שעבר; $\displaystyle T$ – זמן מחצית החיים, באותן יחידות.

כמה יוד-131 יישאר מ-80 מ"ג אחרי 40 ימים?

$\displaystyle {n}={\frac{40}{8}}={5}$ .
$\displaystyle {M}={80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}={\frac{80}{32}}={2.5}$ מ"ג.

תיארוך בפחמן-14

בכל יצור חי יש כמות קבועה של פחמן-14. אחרי שהיצור מת, הפחמן-14 דועך, וזמן מחצית החיים שלו בערך 5,730 שנים. לפי מה שנשאר ממנו בעצם או בעץ, מעריכים לפני כמה זמן היצור חי.

בעצם עתיקה נשארה $\displaystyle \frac{1}{8}$ מכמות הפחמן-14 שהייתה בה.

$\displaystyle {\frac{1}{8}}={\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}$ , לכן עברו 3 זמני מחצית חיים.
$\displaystyle {3\cdot5730}={17190}$ : העצם בת בערך 17,000 שנה.

קפאין: מספר זמני מחצית חיים שאינו שלם

זמן מחצית החיים של קפאין בגוף של מבוגר הוא בערך 5 שעות.
דנה שתתה בשמונה בבוקר כוס קפה עם 100 מ"ג קפאין.

בשש בערב עברו 10 שעות: $\displaystyle {n}={\frac{10}{5}}={2}$ , ונשארו $\displaystyle {100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}={25}$ מ"ג.
בשלוש אחר הצהריים עברו 7 שעות: $\displaystyle {n}={\frac{7}{5}}={1.4}$ – לא מספר שלם. את החזקה מחשבים במחשבון:

100\cdot0.5^{1.4}\approx37.9

בשלוש נשארו בגוף בערך 37.9 מ"ג קפאין – פחות מ-50 (אחרי 5 שעות) ויותר מ-25 (אחרי 10 שעות).

תרגיל 1

זמן מחצית החיים של יוד-131 הוא 8 ימים.
בבית חולים יש 60 מ"ג יוד-131.

כמה מ"ג יישארו אחרי 24 ימים?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה מ"ג יישארו אחרי 40 ימים?

תרגיל 2

משקה אנרגיה מכיל 160 מ"ג קפאין.
זמן מחצית החיים של קפאין בגוף הוא 5 שעות.

כמה קפאין יישאר בגוף 15 שעות אחרי ששתו את המשקה?

תרגיל 3

בפיסת עץ מאתר עתיק נשארה $\displaystyle \frac{1}{16}$ מכמות הפחמן-14 שהייתה בה.
זמן מחצית החיים של פחמן-14 הוא 5,730 שנים.

לפני כמה שנים כרתו את העץ?

תרגיל 4

נועם שתה משקה עם 200 מ"ג קפאין.
זמן מחצית החיים של קפאין בגוף הוא 5 שעות.

כמה זמני מחצית חיים עוברים ב-8 שעות?

כמה קפאין יישאר בגוף של נועם אחרי 8 שעות? עגלו למספר שלם.

תרגיל 5

זמן מחצית החיים של תרופה בגוף הוא 6 שעות.
הרופא אמר: “אחרי יממה יישאר בגוף פחות מ-10% מהתרופה.”

ביממה עוברים 4 זמני מחצית חיים. איזה חלק מהתרופה יישאר?

האם הרופא צדק? הסבירו.

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$