גדילה קווית וגדילה מעריכית

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 6 מתוך 16לימוד

גדילה קווית וגדילה מעריכית

בגדילה קווית מוסיפים לכמות בכל יחידת זמן אותו מספר $\displaystyle d$ . בגדילה מעריכית כופלים אותה בכל יחידת זמן באותו מספר $\displaystyle q$ .

\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t

בשתי ערים 10,000 תושבים.
בעיר א’ נוספים בכל שנה 500 תושבים: $\displaystyle 10000+500t$ .
בעיר ב’ מספר התושבים גדל ב-4% בכל שנה: $\displaystyle 10000\cdot1.04^{t}$ .

שנים	0	1	2	3
עיר א'	10,000	10,500	11,000	11,500
עיר ב’ (מעוגל)	10,000	10,400	10,816	11,249

בשנים הראשונות עיר א’ גדלה מהר יותר.

הפרשים שווים ומנות שוות

בטבלה של זמנים במרווחים שווים:

בגדילה קווית ההפרש בין כל ערך לערך שלפניו קבוע: $\displaystyle {10500-10000}={11000-10500}={500}$ .
בגדילה מעריכית המנה של כל ערך בערך שלפניו קבועה: $\displaystyle {\frac{10400}{10000}}={\frac{10816}{10400}}={1.04}$ .

הגדילה המעריכית עוקפת

בגדילה קווית התוספת בכל שנה קבועה. בגדילה מעריכית התוספת עצמה גדלה, כי 4% מכמות גדולה יותר הם יותר. לכן בסוף הגדילה המעריכית עוקפת כל גדילה קווית.

שנים	11	12	20	30
עיר א'	15,500	16,000	20,000	25,000
עיר ב’ (מעוגל)	15,395	16,010	21,911	32,434

אחרי 12 שנים עיר ב’ גדולה יותר, ומאז הפער רק גדל.
אחרי 30 שנים בעיר ב’ יש כמעט 7,500 תושבים יותר מבעיר א'.

גרף של קו ישר וגרף מעריכי

הגרף של גדילה קווית הוא קו ישר, והגרף של גדילה מעריכית עולה מהר יותר ויותר.

בגרף: $\displaystyle {y}={100+100x}$ – קו ישר, ו- $\displaystyle {y}={100\cdot2^{x}}$ – גרף מעריכי.

\displaystyle y=100+100x

\displaystyle y=100\cdot2^{x}

\displaystyle (0,100)

\displaystyle (1,200)

\displaystyle (4,500)

\displaystyle (4,1600)

שני הגרפים נפגשים בשתי נקודות: $\displaystyle (0,\ 100)$ ו- $\displaystyle (1,\ 200)$ .
בין $\displaystyle {x}={0}$ ל- $\displaystyle {x}={1}$ הקו הישר מעט מעל הגרף המעריכי.
אחרי $\displaystyle {x}={1}$ הגרף המעריכי מעל הקו, והפער גדל: ב- $\displaystyle {x}={4}$ , 1,600 לעומת 500.

תרגיל 1

שתי כמויות משתנות עם הזמן:

זמן	0	1	2	3
כמות א'	20	26	32	38
כמות ב'	20	30	45	67.5

איזו כמות גדלה באופן קווי ואיזו באופן מעריכי? הסבירו בעזרת הפרשים ומנות.

מה תהיה כמות א’ בזמן 4?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מה תהיה כמות ב’ בזמן 4?

תרגיל 2

בגרף: $\displaystyle {y}={100+100x}$ ו- $\displaystyle {y}={100\cdot2^{x}}$ .

סמנו את נקודות המפגש של שני הגרפים.

\displaystyle y=100+100x

\displaystyle y=100\cdot2^{x}

תרגיל 3

בשתי צלחות במעבדה גדלים חיידקים.
בצלחת א’ יש 1,000 חיידקים, ובכל שעה נוספים 1,000.
בצלחת ב’ יש 100 חיידקים, ובכל שעה מספרם גדל פי 2.

כמה חיידקים יהיו בצלחת א’ אחרי 7 שעות?

כמה חיידקים יהיו בצלחת ב’ אחרי 7 שעות?

באיזו צלחת יהיו יותר חיידקים אחרי 10 שעות? הסבירו בלי לחשב את כל השעות.

תרגיל 4

שתי הערים מההסבר: בעיר א’ $\displaystyle 10000+500t$ תושבים, ובעיר ב’ $\displaystyle 10000\cdot1.04^{t}$ .

כתבו משוואה ופתרו אותה: אחרי כמה שנים יהיו בעיר א’ 16,000 תושבים?

כמה תושבים יהיו באותו זמן בעיר ב’? עגלו למספר שלם.

איזו עיר גדולה יותר באותו זמן, ומה יקרה לפער בין הערים בשנים שאחריו?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$