דלג לתוכן

ניסוי בכמה שלבים

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 12 מתוך 16לימוד

ניסוי בכמה שלבים

דיאגרמת עץ של שלושה שלבים

בניסוי של שלושה שלבים, לכל ענף בשלב השני יש המשך בשלב השלישי. גם כאן ההסתברות של מסלול היא מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו:

P=p1⋅p2⋅p3\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3

במשפחה שלושה ילדים.
נניח שבכל לידה ההסתברות לבן ולבת שווה, 12\displaystyle \frac{1}{2}.
בעץ מסומן המסלול “שלוש בנות”:

  • יש 2⋅2⋅2=8\displaystyle {2\cdot2\cdot2}={8} מסלולים, וההסתברות של כל אחד: 12⋅12⋅12=18\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}={\frac{1}{8}}.
  • שלוש בנות: מסלול אחד, 18\displaystyle \frac{1}{8}.
  • בדיוק שני בנים: שלושה מסלולים – בן־בן־בת, בן־בת־בן, בת־בן־בן. מחברים: 38\displaystyle \frac{3}{8}.
הוצאה בלי החזרה

כשמוציאים בלי להחזיר, כל שלב משנה את מה שנשאר: בשלב הבא יש פריט אחד פחות, וההסתברויות על הענפים משתנות.

בוועד הכיתה 10 תלמידים: 6 בנות ו-4 בנים.
מגרילים שלושה מהם, בזה אחר זה, לוועדת טיול. מי שעלה בהגרלה לא מוגרל שוב.
בעץ מסומן המסלול “שלוש בנות”:

  • בהגרלה הראשונה 6 בנות מתוך 10.
  • אם עלתה בת, נשארו 5 בנות מתוך 9; אחרי בת נוספת – 4 מתוך 8.
610⋅59⋅48=120720=16\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6}
עם החזרה ובלי החזרה

כשמחזירים את מה שהוצא, כל שלב מתחיל מאותו מצב, וההסתברויות בכל השלבים שוות.

אילו בוועד היו מגרילים שלוש פעמים מתוך כל העשרה – ואותה תלמידה יכולה לעלות שוב:

610⋅610⋅610=2161000=0.216\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{216}{1000}=0.216
  • בלי החזרה: 16≈0.167\displaystyle \frac{1}{6}\approx0.167 – פחות: כל בת שעלתה מקטינה את מספר הבנות שנשארו.
  • בבחירה מאוכלוסייה גדולה – אלפי אנשים – ההבדל זניח, ומחשבים כאילו מחזירים.
לפחות פעם אחת

“לפחות פעם אחת” הוא המשלים של “אף פעם”. במקום לחבר הרבה מסלולים, מחשבים מסלול אחד ומחסירים מ-1.

בכל טיסה של חברת תעופה, ההסתברות לעיכוב היא 0.2\displaystyle 0.2.
נועה טסה 4 פעמים, והעיכובים בטיסות שונות אינם תלויים זה בזה.
מה ההסתברות שלפחות טיסה אחת שלה תתעכב?

  • אף טיסה לא מתעכבת: 0.8⋅0.8⋅0.8⋅0.8=0.84=0.4096\displaystyle {0.8\cdot0.8\cdot0.8\cdot0.8}={0.8^{4}}={0.4096}.
  • לפחות טיסה אחת מתעכבת: 1−0.4096=0.5904\displaystyle {1-0.4096}={0.5904}.

ובאופן כללי, כשבכל ניסוי ההסתברות היא p\displaystyle p ועורכים n\displaystyle n ניסויים בלתי תלויים:

1−(1−p)n\displaystyle 1-(1-p)^{n}
תרגיל 1

בדרך לעבודה יש שלושה רמזורים.
בכל רמזור ההסתברות להגיע כשהוא ירוק היא 25\displaystyle \frac{2}{5}, בלי קשר לרמזורים האחרים.

כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

א

מה ההסתברות ששלושת הרמזורים יהיו ירוקים?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מה ההסתברות שלפחות רמזור אחד יהיה אדום?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      בקופסה 10 נורות, ו-2 מהן פגומות.
      בודק איכות מוציא 3 נורות, בזו אחר זו, ולא מחזיר אותן.

      כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.

      א

      מה ההסתברות ששלוש הנורות תקינות?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        מה ההסתברות שהבודק ימצא לפחות נורה פגומה אחת?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          במבחן אמריקאי לכל שאלה ארבע תשובות, ורק אחת מהן נכונה.
          יואב לא למד, והוא מנחש את התשובות לשלוש שאלות.

          כתבו את ההסתברויות על הענפים ואת ההסתברות של כל מסלול.
          סמנו את המסלולים של המאורע “לפחות שתי תשובות נכונות”, ומצאו את ההסתברות שלו.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            ההסתברות שזרע של עגבנייה ינבט היא 0.7\displaystyle 0.7.
            שירה שותלת 4 זרעים, וכל זרע נובט בלי קשר לאחרים.

            מה ההסתברות שלפחות זרע אחד ינבט?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 5

              בכיתה 30 תלמידים: 15 בנות ו-15 בנים.
              המורה מגרילה שני שמות.

              א

              מה ההסתברות ששני השמות של בנות, אם אחרי ההגרלה הראשונה השם מוחזר (ואותה תלמידה יכולה לעלות פעמיים)?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מה ההסתברות ששני השמות של בנות, אם השם הראשון לא מוחזר?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  איזו הסתברות גדולה יותר? הסבירו למה.