גדילה באחוזים

גורם הגדילה של גדילה באחוזים

כשכמות גדלה ב- $\displaystyle p$ אחוזים, היא נעשית $\displaystyle 100\%+p\%$ ממה שהייתה. לכן גדילה של $\displaystyle p\%$ היא כפל בגורם הגדילה:

\displaystyle q=1+\frac{p}{100}

בעיר 20,000 תושבים.
מספר התושבים גדל ב-2% בכל שנה.

מספר אנשים הוא מספר שלם, לכן מעגלים: אחרי 5 שנים יהיו בעיר בערך 22,082 תושבים. את התוצאה המעוגלת כותבים אחרי הסימן $\displaystyle \approx$ :

20000\cdot1.02^{5}\approx22082

עוקבים ברשת חברתית

לזמרת צעירה יש 1,200 עוקבים ברשת חברתית.
מספר העוקבים גדל ב-15% בכל חודש.
כמה עוקבים יהיו לה אחרי 4 חודשים?

אחרי 4 חודשים יהיו לה בערך 2,099 עוקבים – כמעט פי 2 מבהתחלה.

גדילה של כמה שנים ברצף

גדילה של 10% בכל שנה, במשך 3 שנים, היא גדילה של יותר מ-30%: כל שנה גדלה ב-10% גם הכמות שנוספה בשנים שלפניה.

1.1^{3}=1.331

אחוז הגדילה מטבלה

כשהטבלה מעריכית, גורם הגדילה הוא ערך מחולק בערך שלפניו. אחוז הגדילה הוא החלק של $\displaystyle q$ שמעל 1, באחוזים.

מספר המנויים לספרייה עירונית, בסוף כל שנה:

שנה	0	1	2
מנויים	5,000	5,300	5,618

$\displaystyle {\frac{5300}{5000}}={1.06}$ וגם $\displaystyle {\frac{5618}{5300}}={1.06}$ , לכן $\displaystyle {q}={1.06}$ .
$\displaystyle {1.06}={1+\frac{6}{100}}$ : מספר המנויים גדל ב-6% בכל שנה.

תרגיל 1

בעיר 50,000 תושבים.
מספר התושבים גדל ב-3% בכל שנה.

מהו גורם הגדילה?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה תושבים יהיו בעיר אחרי 4 שנים? עגלו למספר שלם.

תרגיל 2

באגם 400 דגים.
מספר הדגים גדל ב-25% בכל שנה.

כמה דגים יהיו באגם אחרי 3 שנים? עגלו למספר שלם.

תרגיל 3

הגובה של שתיל גדל ב-20% בכל שבוע.

חשבו פי כמה גדל הגובה בשבועיים.

בכמה אחוזים גדל הגובה בשבועיים? מדוע לא ב-40%?

תרגיל 4

מספר המנויים לערוץ וידאו, בסוף כל חודש:

חודש	0	1	2
מנויים	2,500	2,700	2,916

מהו גורם הגדילה?

בכמה אחוזים גדל מספר המנויים בכל חודש?

תרגיל 5

מספר החברים במועדון ספורט גדל השנה ב-4%.
בסוף השנה יש במועדון 7,800 חברים.

כתבו משוואה ופתרו אותה: כמה חברים היו במועדון בתחילת השנה?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$