פיזור: הטווח והסטיות מהממוצע

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 8 מתוך 16לימוד

פיזור: הטווח והסטיות מהממוצע

אותו ממוצע, פיזור שונה

שתי קבוצות נתונים יכולות להיות בעלות אותו ממוצע ולהיראות שונות לגמרי. מה שמבדיל ביניהן הוא הפיזור: כמה רחוק הנתונים מתרחקים מהממוצע.

הנקודות של שתי שחקניות כדורסל בחמשת המשחקים האחרונים:
נועה: 14, 16, 12, 18, 15.
תמר: 4, 26, 10, 20, 15.

הממוצע של נועה: $\displaystyle {\frac{14+16+12+18+15}{5}}={\frac{75}{5}}={15}$ .
הממוצע של תמר: $\displaystyle {\frac{4+26+10+20+15}{5}}={\frac{75}{5}}={15}$ .
לשתיהן ממוצע 15, אבל נועה קולעת בכל משחק בערך 15 נקודות, ותמר – פעם מעט מאוד ופעם הרבה.

מדד שמתאר כמה הנתונים מפוזרים נקרא מדד פיזור.

הטווח

הטווח הוא מדד הפיזור הפשוט ביותר: הנתון הגדול ביותר פחות הנתון הקטן ביותר.

\displaystyle x_{\max}-x_{\min}

הטווח של נועה: $\displaystyle {18-12}={6}$ נקודות.
הטווח של תמר: $\displaystyle {26-4}={22}$ נקודות.

הטווח של תמר גדול יותר: הנקודות שלה מפוזרות יותר.

החולשה של הטווח

הטווח תלוי רק בשני נתונים – הגדול ביותר והקטן ביותר – ולא אומר דבר על כל השאר.

הטמפרטורה בצהריים, במעלות, במשך שבוע בשתי ערים:
עיר א’: 18, 22, 22, 22, 22, 22, 26.
עיר ב’: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

בשתי הערים הממוצע 22.
הטווח בעיר א’ הוא $\displaystyle {26-18}={8}$ , ובעיר ב’ – $\displaystyle {25-19}={6}$ .
ובכל זאת, בחמישה מתוך שבעת הימים היו בעיר א’ בדיוק 22 מעלות. שני ימים חריגים קבעו את הטווח שלה.

כדי לתאר את הפיזור של כל הנתונים, צריך מדד שכל נתון משפיע עליו.

הסטייה מהממוצע

הסטייה של נתון מהממוצע היא ההפרש בין הנתון לממוצע:

\displaystyle x_i-\bar{x}

נתון גדול מהממוצע – הסטייה שלו חיובית; נתון קטן מהממוצע – הסטייה שלו שלילית.
ככל שנתון רחוק יותר מהממוצע, הסטייה שלו גדולה יותר (בלי להתחשב בסימן).

הסטיות של הנקודות מהממוצע 15:

נקודות של נועה	14	16	12	18	15
סטייה	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 0$

נקודות של תמר	4	26	10	20	15
סטייה	$\displaystyle -11$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 0$

הסטיות של תמר גדולות בהרבה – הנקודות שלה רחוקות מהממוצע.

סכום הסטיות

סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 0: הסטיות החיוביות והשליליות מבטלות זו את זו.

נועה: $\displaystyle {-1+1-3+3+0}={0}$ .
תמר: $\displaystyle {-11+11-5+5+0}={0}$ .

זה קורה בכל קבוצת נתונים, כי הממוצע הוא בדיוק הנקודה שבה הסכומים משני הצדדים שווים. לכן הממוצע של הסטיות הוא תמיד 0, ואינו אומר דבר על הפיזור.

כדי שהסטיות לא יבטלו זו את זו, מעלים כל סטייה בריבוע – ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי. כך בונים את סטיית התקן, בשיעור הבא.

תרגיל 1

הציונים של שני תלמידים בחמישה מבחנים:
דנה: 70, 75, 80, 85, 90.
יוסי: 50, 100, 80, 95, 75.

לשניהם ממוצע 80.

חשבו את הטווח של הציונים של דנה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את הטווח של הציונים של יוסי.

למי מהשניים ציונים יציבים יותר? הסבירו.

תרגיל 2

מספר הספרים שקראו חמישה חברים במועדון קריאה בשנה האחרונה:
6, 8, 9, 11, 16.

חשבו את הממוצע.

חשבו את הסטייה של הנתון 16 מהממוצע.

חשבו את סכום כל הסטיות מהממוצע.

תרגיל 3

זמני ההמתנה בדקות של שבעה מטופלים במרפאה, ביום אחד:
8, 10, 9, 11, 10, 12, 45.

המטופל שחיכה 45 דקות הגיע ביום שבו רופא אחד חלה.

חשבו את הטווח של זמני ההמתנה.

חשבו את הטווח בלי הנתון 45.

איזה משני הטווחים מתאר טוב יותר את זמני ההמתנה של רוב המטופלים? הסבירו.

תרגיל 4

הגובה הממוצע של תלמידי שכבה י"א הוא 170 ס"מ.
הסטייה של הגובה של גיל מהממוצע היא $\displaystyle -6$ ס"מ.

מה הגובה של גיל?

תרגיל 5

רון הציע: “כדי למדוד פיזור, נחשב את הממוצע של הסטיות מהממוצע.”

מדוע ההצעה של רון אינה עובדת?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$