סטיית התקן

מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 16לימוד

סטיית התקן

סטיית התקן בטבלה, שלב אחר שלב

סטיית התקן מודדת כמה הנתונים רחוקים מהממוצע, בממוצע. מחשבים אותה בחמישה שלבים, ונוח לרשום אותם בטבלה.

במשך שמונה ימים רשמה מאיה בכמה דקות האוטובוס שלה איחר:
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

הממוצע: $\displaystyle {\bar{x}}={\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac{40}{8}}={5}$ .
הסטייה של כל נתון מהממוצע: $\displaystyle x-\bar{x}$ .
ריבוע של כל סטייה: $\displaystyle (x-\bar{x})^2$ – כל הריבועים חיוביים או 0.
הממוצע של הריבועים: $\displaystyle {\frac{32}{8}}={4}$ . המספר הזה נקרא השונות.
השורש של השונות: $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{4}}={2}$ .

$\displaystyle x$	2	4	4	4	5	5	7	9	סכום
$\displaystyle x-\bar{x}$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle (x-\bar{x})^2$	9	1	1	1	0	0	4	16	32

סטיית התקן של האיחורים היא 2 דקות.

הנוסחה של סטיית התקן

את חמשת השלבים כותבים בנוסחה אחת. מסמנים את סטיית התקן באות היוונית $\displaystyle \sigma$ (סיגמה):

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}

במונה – סכום הריבועים של הסטיות;
$\displaystyle n$ – מספר הנתונים;
מה שמתחת לשורש הוא השונות.

הנקודות של נועה בשיעור הקודם: 14, 16, 12, 18, 15, עם ממוצע 15 וסטיות $\displaystyle -1, 1, -3, 3, 0$ :

\sigma=\sqrt{\frac{1+1+9+9+0}{5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2

סטיית תקן מעוגלת

ברוב המקרים השונות אינה ריבוע של מספר שלם, וסטיית התקן יוצאת מספר עשרוני ארוך. מעגלים אותה, בדרך כלל לשתי ספרות אחרי הנקודה, וכותבים $\displaystyle \approx$ .

הטמפרטורה בבוקר, במעלות, במשך ארבעה ימים:
18, 20, 21, 25.

הממוצע: $\displaystyle {\frac{84}{4}}={21}$ .
הסטיות: $\displaystyle -3, -1, 0, 4$ ; הריבועים: $\displaystyle 9, 1, 0, 16$ .

\sigma=\sqrt{\frac{9+1+0+16}{4}}=\sqrt{6.5}\approx2.55

סטיית התקן היא בערך 2.55 מעלות.

היחידות של סטיית התקן

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים: דקות, מעלות, נקודות.

העלאה בריבוע הופכת דקות ל"דקות בריבוע" – לכן השונות קשה לפירוש.
השורש מחזיר אותנו ליחידות של הנתונים.
סטיית התקן היא תמיד 0 או מספר חיובי. היא 0 רק כשכל הנתונים שווים.

במחשבון מדעי יש מצב סטטיסטיקה (STAT): מקלידים את הנתונים, והמחשבון נותן את הממוצע $\displaystyle \bar{x}$ ואת סטיית התקן – בשם $\displaystyle \sigma_x$ או $\displaystyle \sigma_n$ (לא $\displaystyle s_x$ , שמחושבת בדרך אחרת).

תרגיל 1

זמן המסך היומי של נועם, בשעות, בארבעה ימים:
1, 3, 5, 7.

חשבו את הממוצע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה, וכתבו $\displaystyle \approx$ לפני המספר המעוגל.

תרגיל 2

הטמפרטורה בצהריים באילת, במעלות, בחמישה ימים:
30, 32, 33, 34, 36.

חשבו את הממוצע.

חשבו את סטיית התקן.

תרגיל 3

משך הנסיעה של עדי לבית הספר, בדקות, בחמישה ימים:
12, 15, 15, 18, 20.

חשבו את סטיית התקן, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 4

הנקודות של תמר, השחקנית מהשיעור הקודם: 4, 26, 10, 20, 15.
הממוצע 15, והסטיות $\displaystyle -11, 11, -5, 5, 0$ .

חשבו את סטיית התקן של הנקודות של תמר, מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטיית התקן של נועה היא 2. מה ההשוואה בין סטיות התקן אומרת על שתי השחקניות?

תרגיל 5

עומר חישב סטיית תקן של ציונים, וקיבל $\displaystyle {\sigma}={-4}$ .

איך אפשר לדעת, בלי לבדוק את החישוב, שעומר טעה?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$