שטח כפונקציה של צלע: השטח הגדול ביותר

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 5 מתוך 14לימוד

שטח כפונקציה של צלע: השטח הגדול ביותר

מכלאה עם 40 מטרים של גדר

בחווה רוצים לגדר מכלאה מלבנית לעזים, ויש 40 מטרים של גדר.

צלע אחת של המלבן $\displaystyle x$ מטרים.
שתי צלעות סמוכות הן חצי מההיקף, 20 מטרים, ולכן הצלע השנייה $\displaystyle 20-x$ מטרים.
השטח, במ"ר: $\displaystyle {A}={x(20-x)}$ .

$\displaystyle x$ (מטרים)	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 18$
$\displaystyle A$ (מ"ר)	$\displaystyle 36$	$\displaystyle 75$	$\displaystyle 96$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle 96$	$\displaystyle 75$	$\displaystyle 36$

\displaystyle y=x(20-x)

\displaystyle V=(10,100)

אחרי פתיחת הסוגריים $\displaystyle {A}={-x^{2}+20x}$ : מודל ריבועי עם $\displaystyle {a}={-1<0}$ , ולכן יש לו שטח גדול ביותר.
$\displaystyle {x}={-\frac{20}{2\cdot(-1)}}={10}$ , והצלע השנייה $\displaystyle {20-10}={10}$ : המכלאה הגדולה ביותר היא ריבוע 10 על 10, בשטח 100 מ"ר.
מלבן ארוך וצר, למשל 2 על 18, מקבל אותה גדר ושטח של 36 מ"ר בלבד.

מכלאה צמודה לקיר

אם המכלאה צמודה לקיר של הרפת, את הצלע שלאורך הקיר לא צריך לגדר.

שתי הצלעות שניצבות לקיר – $\displaystyle x$ מטרים כל אחת.
הצלע שמול הקיר – $\displaystyle 40-2x$ מטרים.
השטח: $\displaystyle {A}={x(40-2x)}={-2x^{2}+40x}$ .
$\displaystyle {x}={-\frac{40}{2\cdot(-2)}}={10}$ , והצלע שמול הקיר $\displaystyle {40-20}={20}$ .

המכלאה הגדולה ביותר היא 10 על 20, בשטח 200 מ"ר – פי 2 משטח הריבוע בלי הקיר. הפעם היא אינה ריבוע.

המידות של שטח נתון

אילו מידות נותנות מכלאה של 96 מ"ר עם 40 מטרים של גדר? נפתור את המשוואה:

x(20-x)=96

$\displaystyle {-x^{2}+20x-96}={0}$ , ואחרי כפל ב- $\displaystyle -1$ : $\displaystyle {x^{2}-20x+96}={0}$ .
$\displaystyle {x}={8}$ או $\displaystyle {x}={12}$ .

שני הפתרונות נותנים את אותו מלבן: 8 על 12. פעם $\displaystyle x$ היא הצלע הקצרה, ופעם הארוכה.

תרגיל 1

לגינת ירק בבית הספר יש 60 מטרים של גדר.
צלע אחת של הגינה $\displaystyle x$ מטרים, והשטח שלה במ"ר: $\displaystyle {A}={x(30-x)}$

סמנו בלוח את הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף, ובדקו. מה המידות של הגינה הגדולה ביותר, ומה השטח שלה?

\displaystyle y=x(30-x)

אילו מידות נותנות גינה בשטח 200 מ"ר?

הצלע הקצרה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

הצלע הארוכה

תרגיל 2

לחקלאי יש 24 מטרים של גדר.
הוא בונה לול מלבני צמוד לקיר של מחסן, ומגדר רק את שלוש הצלעות האחרות.
כל אחת משתי הצלעות שניצבות לקיר היא $\displaystyle x$ מטרים.

כתבו את האורך של הצלע שמול הקיר, ואת השטח של הלול, בעזרת $\displaystyle x$ .

חשבו את $\displaystyle x$ שנותן את הלול הגדול ביותר.

מה השטח של הלול הגדול ביותר?

תרגיל 3

תלמידים מסמנים מגרש משחקים מלבני עם חבל באורך 30 מטרים.
נועה אומרת: “ככל שהצלע הארוכה ארוכה יותר, השטח גדול יותר”.

האם היא צודקת? הסבירו בעזרת הנוסחה של השטח או בעזרת טבלה.

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מודל ריבועי

מודל ריבועי – $\displaystyle a<0$ : יש נקודה גבוהה ביותר, $\displaystyle a>0$ : יש נקודה נמוכה ביותר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ $\displaystyle a\neq0$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – ציר הסימטריה
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – באמצע בין שני ערכי $\displaystyle x$ שיש להם אותו $\displaystyle y$
$\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ – נקודות האפס
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

מודלים נוספים

קשר קווי – ההפרשים בטבלה שווים
$\displaystyle y=mx+b$
קשר מעריכי – היחס בין שני ערכים סמוכים בטבלה קבוע, $\displaystyle b$
$\displaystyle y=a\cdot b^{x}$

ההתפלגות הנורמלית

סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים – $\displaystyle \bar{x}$ הממוצע שלהם
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}}$
בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
כמה נתונים מתוך $\displaystyle n$ הם $\displaystyle p$ אחוזים מהם
$\displaystyle n\cdot p\%$

ציון תקן

ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$