התאמת מודל: קווי, ריבועי או מעריכי

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 7 מתוך 14לימוד

התאמת מודל: קווי, ריבועי או מעריכי

שלוש טבלאות, שלושה מודלים

בשלוש הטבלאות האלה $\displaystyle x$ גדל כל פעם ב-1. מה שקובע את המודל הוא איך $\displaystyle y$ משתנה מעמודה לעמודה:

נסיעה במונית – המחיר בשקלים אחרי $\displaystyle x$ ק"מ:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle 24$
ההפרש		$\displaystyle +3$	$\displaystyle +3$	$\displaystyle +3$	$\displaystyle +3$

אבן שנופלת – כמה מטרים היא נפלה אחרי $\displaystyle x$ שניות:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 45$	$\displaystyle 80$
ההפרש		$\displaystyle +5$	$\displaystyle +15$	$\displaystyle +25$	$\displaystyle +35$

חיידקים בצלחת – מספר החיידקים אחרי $\displaystyle x$ שעות:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle y$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle 200$	$\displaystyle 400$	$\displaystyle 800$	$\displaystyle 1600$
היחס		$\displaystyle \times2$	$\displaystyle \times2$	$\displaystyle \times2$	$\displaystyle \times2$

איך מזהים את המודל

כש- $\displaystyle x$ גדל בצעדים שווים:

קשר קווי – ההפרשים בין ערכים סמוכים של $\displaystyle y$ שווים: במונית כל ק"מ מוסיף 3 ₪. הנוסחה: $\displaystyle {y}={3x+12}$ .
קשר ריבועי – ההפרשים אינם שווים, אבל הם גדלים כל פעם באותו מספר: אצל האבן $\displaystyle 5, 15, 25, 35$ – כל הפרש גדול ב-10 מהקודם. הנוסחה: $\displaystyle {y}={5x^{2}}$ .
קשר מעריכי – גדילה או דעיכה, כמו שלמדתם בכיתה י"א: היחס בין ערכים סמוכים קבוע: החיידקים מוכפלים פי 2 כל שעה. הנוסחה: $\displaystyle {y}={100\cdot2^{x}}$ .

\displaystyle y=mx+b

\displaystyle y=ax^{2}+bx+c

\displaystyle y=a\cdot b^{x}

מרחקי בלימה שנמדדו

במבחן של מכונית חדשה מדדו את מרחק הבלימה במהירויות שונות:

מהירות (קמ"ש)	$\displaystyle 20$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle 60$	$\displaystyle 80$
מרחק (מטרים)	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 32$
ההפרש		$\displaystyle +6$	$\displaystyle +10$	$\displaystyle +14$

ההפרשים אינם שווים – זה לא קשר קווי.
היחסים, $\displaystyle {\frac{8}{2}}={4}$ , $\displaystyle {\frac{18}{8}}={2.25}$ , אינם שווים – זה לא קשר מעריכי.
כל הפרש גדול ב-4 מהקודם – קשר ריבועי.

לכן ב-100 קמ"ש ההפרש הבא יהיה $\displaystyle {14+4}={18}$ , ומרחק הבלימה $\displaystyle {32+18}={50}$ מטרים.

במדידות אמיתיות המספרים מתאימים למודל רק בקירוב: מחפשים את המודל שההפרשים או היחסים שלו כמעט קבועים.

תרגיל 1

איזה מודל מתאים לכל טבלה: קווי, ריבועי או מעריכי? הסבירו כל תשובה.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$
א	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 19$
ב	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle 54$	$\displaystyle 162$
ג	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 19$	$\displaystyle 33$

תרגיל 2

בלוח הנקודות של טבלה ג מתרגיל 1, עד $\displaystyle {x}={3}$ .
שלוש הצעות לנוסחה: $\displaystyle {y}={4x+1}$ , $\displaystyle {y}={3^{x}}$ , $\displaystyle {y}={2x^{2}+1}$
כתבו כל נוסחה בלוח, וראו את הגרף שלה. איזו נוסחה עוברת דרך כל הנקודות? בדקו.

\displaystyle (0,1)

\displaystyle (1,3)

\displaystyle (2,9)

\displaystyle (3,19)

תרגיל 3

בניסוי בשיעור פיזיקה הפילו כדור מגובה רב, ומדדו כמה מטרים הוא נפל:

זמן (שניות)	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0.5$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 1.5$	$\displaystyle 2$
מרחק (מטרים)	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1.25$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 11.25$	$\displaystyle 20$

חשבו את ההפרשים. איזה מודל מתאים לטבלה?

כמה מטרים נפל הכדור אחרי 2.5 שניות, לפי המודל?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 4

מספר התושבים בעיר חדשה, בתחילת כל שנה:

שנה	$\displaystyle 2023$	$\displaystyle 2024$	$\displaystyle 2025$	$\displaystyle 2026$
תושבים	$\displaystyle 40000$	$\displaystyle 42000$	$\displaystyle 44100$	$\displaystyle 46305$

ההפרשים הם $\displaystyle 2000$ , $\displaystyle 2100$ , $\displaystyle 2205$ . האם זה קשר ריבועי? איזה מודל מתאים, ולמה?

פי כמה גדל מספר התושבים בכל שנה?

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מודל ריבועי

מודל ריבועי – $\displaystyle a<0$ : יש נקודה גבוהה ביותר, $\displaystyle a>0$ : יש נקודה נמוכה ביותר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ $\displaystyle a\neq0$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – ציר הסימטריה
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – באמצע בין שני ערכי $\displaystyle x$ שיש להם אותו $\displaystyle y$
$\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ – נקודות האפס
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

מודלים נוספים

קשר קווי – ההפרשים בטבלה שווים
$\displaystyle y=mx+b$
קשר מעריכי – היחס בין שני ערכים סמוכים בטבלה קבוע, $\displaystyle b$
$\displaystyle y=a\cdot b^{x}$

ההתפלגות הנורמלית

סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים – $\displaystyle \bar{x}$ הממוצע שלהם
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}}$
בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
כמה נתונים מתוך $\displaystyle n$ הם $\displaystyle p$ אחוזים מהם
$\displaystyle n\cdot p\%$

ציון תקן

ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$