דלג לתוכן

תהליך ריבועי: הגובה של כדור

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 1 מתוך 14לימוד

תהליך ריבועי: הגובה של כדור

כדור שנבעט למעלה

שחקן בועט כדור ישר למעלה, מגובה הדשא.
הגובה של הכדור, במטרים, t\displaystyle t שניות אחרי הבעיטה:

h=−5t2+20th=-5t^{2}+20t

נציב בנוסחה כמה זמנים ונקבל טבלה:

t\displaystyle t (שניות)0\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 34\displaystyle 4
h\displaystyle h (מטרים)0\displaystyle 015\displaystyle 1520\displaystyle 2015\displaystyle 150\displaystyle 0

למשל, אחרי שנייה אחת: h=−5⋅12+20⋅1=−5+20=15\displaystyle {h}={-5\cdot1^{2}+20\cdot1}={-5+20}={15} מטרים.

הגרף של הגובה
בלוח הגרפים x\displaystyle x הוא הזמן t\displaystyle t, ו-y\displaystyle y הוא הגובה h\displaystyle h.

הנקודות של הטבלה, והעקומה שעוברת דרכן:

y=−5x2+20x\displaystyle y=-5x^{2}+20x
(0,0)\displaystyle (0,0)
(1,15)\displaystyle (1,15)
(2,20)\displaystyle (2,20)
(3,15)\displaystyle (3,15)
(4,0)\displaystyle (4,0)

הגרף הוא פרבולה שפתוחה כלפי מטה:

  • בהתחלה הכדור עולה מהר – בשנייה הראשונה 15 מטרים;
  • הוא מאט – בשנייה השנייה רק 5 מטרים;
  • אחרי 2 שניות הוא בגובה הרב ביותר, 20 מטרים;
  • הוא נופל, ואחרי 4 שניות נוחת על הדשא.

הגרף מתאר את הגובה לפי הזמן, לא את המסלול של הכדור: הכדור עולה ויורד באותו קו ישר.

מודל ריבועי

מודל ריבועי הוא נוסחה שבה המשתנה מופיע בריבוע, ולא בחזקה גבוהה יותר:

y=ax2+bx+c\displaystyle y=ax^{2}+bx+ca≠0\displaystyle a\neq0
  • a\displaystyle a קובע לאן הפרבולה פתוחה: a<0\displaystyle a<0 – כלפי מטה, ויש לה נקודה גבוהה ביותר; a>0\displaystyle a>0 – כלפי מעלה, ויש לה נקודה נמוכה ביותר.
  • c\displaystyle c הוא הערך של y\displaystyle y כש-x=0\displaystyle {x}={0}: בכדור – הגובה שממנו הוא יצא.
  • בכדור שנבעט a=−5\displaystyle {a}={-5}, b=20\displaystyle {b}={20} ו-c=0\displaystyle {c}={0}. ה-−5\displaystyle -5 בא מכוח המשיכה: הוא מאט כל גוף שעף למעלה, ומושך אותו חזרה.
הסימטריה של הטבלה

בטבלה של הכדור יש אותו גובה בשני זמנים: 15 מטרים אחרי שנייה אחת – בעלייה, ואחרי 3 שניות – בירידה.

  • הזמנים האלה רחוקים באותה מידה מ-t=2\displaystyle {t}={2}, הזמן של הגובה הרב ביותר.
  • לכן הישר האנכי t=2\displaystyle {t}={2} הוא ציר הסימטריה של הפרבולה: החצי שמשמאלו הוא תמונת ראי של החצי שמימינו.
  • הנקודה הגבוהה ביותר, (2,20)\displaystyle (2,20), היא הקודקוד של הפרבולה.
עוד תהליכים ריבועיים

אותה צורה חוזרת בתופעות רבות:

  • סילון של מזרקה – הגובה של המים לפי המרחק מהפתח;
  • שטח של מלבן שההיקף שלו קבוע, לפי האורך של צלע אחת;
  • מרחק הבלימה של מכונית לפי המהירות שלה: מהירות כפולה – מרחק בלימה פי 4;
  • קשת של גשר – הגובה של הקשת לפי המרחק מהקצה שלה.
תרגיל 1

ילדה זורקת כדור למעלה ממרפסת בגובה 15 מטרים.
הגובה של הכדור מעל המדרכה, במטרים, t\displaystyle t שניות אחרי הזריקה:
h=−5t2+10t+15\displaystyle {h}={-5t^{2}+10t+15}

א

חשבו את הגובה אחרי שנייה אחת, אחרי 2 שניות ואחרי 3 שניות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        מה הגובה הרב ביותר שהכדור מגיע אליו, ואחרי כמה שניות? מתי הכדור פוגע במדרכה? היעזרו בתוצאות של סעיף א ובכך ש-h=15\displaystyle {h}={15} גם ב-t=0\displaystyle {t}={0}.

        הגובה הרב ביותר

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          אחרי כמה שניות

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            הפגיעה במדרכה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 2

              סילון מים יוצא מפתח של מזרקה שבגובה הקרקע.
              הגובה של המים, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מהפתח: y=−x2+4x\displaystyle {y}={-x^{2}+4x}
              סמנו בלוח את הנקודה הגבוהה ביותר של הסילון, ובדקו.
              מה הגובה הרב ביותר של המים, ובאיזה מרחק מהפתח?

              y=−x2+4x\displaystyle y=-x^{2}+4x

              הגובה הרב ביותר

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                המרחק מהפתח

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 3

                  אילו מהנוסחאות האלה הן מודל ריבועי? בכל מודל ריבועי, לאן פתוחה הפרבולה?

                  1. y=3x+7\displaystyle {y}={3x+7} – המחיר של נסיעה במונית לפי מספר הקילומטרים.
                  2. y=0.005x2\displaystyle {y}={0.005x^{2}} – מרחק הבלימה לפי המהירות.
                  3. y=1000⋅1.04x\displaystyle {y}={1000\cdot1.04^{x}} – הסכום בחיסכון לפי מספר השנים.
                  4. y=−0.5x2+3x+1\displaystyle {y}={-0.5x^{2}+3x+1} – הגובה של סילון במזרקה.