דלג לתוכן

קריאת הגרף של תהליך ריבועי

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 2 מתוך 14לימוד

קריאת הגרף של תהליך ריבועי

אבן שנזרקת מצוק

מטיילת עומדת על צוק בגובה 25 מטרים מעל הים, וזורקת אבן באלכסון למעלה.
הגובה של האבן מעל המים, במטרים, t\displaystyle t שניות אחרי הזריקה:
h=−5t2+20t+25\displaystyle {h}={-5t^{2}+20t+25}

y=−5x2+20x+25\displaystyle y=-5x^{2}+20x+25
S=(0,25)\displaystyle S=(0,25)
V=(2,45)\displaystyle V=(2,45)
L=(5,0)\displaystyle L=(5,0)

שלוש נקודות על הגרף מספרות את הסיפור של האבן:

  • S=(0,25)\displaystyle {S}={(0,25)} – הגרף חותך את ציר ה-y\displaystyle y בגובה ההתחלתי: האבן יוצאת מגובה 25 מטרים.
  • V=(2,45)\displaystyle {V}={(2,45)} – הקודקוד: אחרי 2 שניות האבן בגובה הרב ביותר, 45 מטרים.
  • L=(5,0)\displaystyle {L}={(5,0)} – הגרף חותך את ציר ה-x\displaystyle x: אחרי 5 שניות הגובה 0 – האבן נופלת למים.
המילים של הגרף

לכל נקודה מיוחדת בגרף יש שם, ולכל שם יש משמעות בתהליך:

בגרףאצל האבן
נקודת החיתוך עם ציר ה-y\displaystyle yהגובה בהתחלה, t=0\displaystyle {t}={0}
נקודת קיצון – כאן מקסימוםהגובה הרב ביותר, ומתי
נקודת אפס – חיתוך עם ציר ה-x\displaystyle xמתי הגובה 0: האבן במים
תחום עלייה: 0<t<2\displaystyle 0<t<2האבן עולה
תחום ירידה: 2<t<5\displaystyle 2<t<5האבן יורדת
החלק של הגרף שיש לו משמעות

הנוסחה מתארת את האבן רק מהזריקה ועד שהיא פוגעת במים: 0≤t≤5\displaystyle 0\le t\le5.

  • הגרף ממשיך גם שמאלה מ-t=0\displaystyle {t}={0}, ופוגש את ציר ה-x\displaystyle x גם ב-t=−1\displaystyle {t}={-1}. אבל זמן שלילי הוא לפני הזריקה – אין לו משמעות.
  • גם אחרי t=5\displaystyle {t}={5} אין לגרף משמעות: האבן כבר במים, ולא ממשיכה ליפול “מתחת לאפס” בקצב הזה.

לכן בתשובה כותבים רק את מה שקרה באמת: “האבן פוגעת במים אחרי 5 שניות”.

תהליך עם ערך נמוך ביותר

בלילה חורפי במדבר, הטמפרטורה במעלות, t\displaystyle t שעות אחרי חצות:
T=0.5t2−4t+10\displaystyle {T}={0.5t^{2}-4t+10}

y=0.5x2−4x+10\displaystyle y=0.5x^{2}-4x+10

כאן a=0.5>0\displaystyle {a}={0.5>0}, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ויש לה נקודה נמוכה ביותר:

  • בחצות T=10\displaystyle {T}={10} מעלות;
  • הטמפרטורה יורדת עד 4 לפנות בוקר, ואז היא הנמוכה ביותר – 2 מעלות: הקודקוד (4,2)\displaystyle (4,2) הוא נקודת מינימום;
  • אחר כך הטמפרטורה עולה: ב-8 בבוקר היא שוב 10 מעלות.
תרגיל 1

שוער בועט כדור.
הגובה של הכדור, במטרים, x\displaystyle x שניות אחרי הבעיטה: y=−5x2+25x\displaystyle {y}={-5x^{2}+25x}

א

סמנו בלוח את הנקודה הגבוהה ביותר ואת נקודות האפס של הגרף, ובדקו.

y=−5x2+25x\displaystyle y=-5x^{2}+25x

ב
  • מה הגובה הרב ביותר של הכדור, ואחרי כמה שניות?
  • כמה זמן הכדור באוויר?
  • מהו תחום העלייה, ומהו תחום הירידה?
הגובה הרב ביותר

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    אחרי כמה שניות

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      הזמן באוויר

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        כבל חשמל תלוי בין שני עמודים, שהמרחק ביניהם 12 מטרים.
        הגובה של הכבל מעל הקרקע, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מהעמוד הראשון: y=0.25x2−3x+28\displaystyle {y}={0.25x^{2}-3x+28}
        סמנו בלוח את הנקודה הנמוכה ביותר של הכבל, ובדקו.
        מה הגובה של העמודים? מה הגובה הקטן ביותר של הכבל, ובאיזה מרחק מהעמוד הראשון? משאית בגובה 4 מטרים עוברת מתחת לכבל – האם היא בטוחה?

        y=0.25x2−3x+28\displaystyle y=0.25x^{2}-3x+28

        הגובה של העמודים

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          הגובה הקטן ביותר

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            המרחק מהעמוד הראשון

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              תלמידים בחוג מדע משגרים טיל מים מהקרקע.
              הגובה של הטיל, במטרים, x\displaystyle x שניות אחרי השיגור: y=−5x2+40x\displaystyle {y}={-5x^{2}+40x}
              קראו מהגרף:

              • מה הגובה הרב ביותר של הטיל, ומתי הוא מגיע אליו?
              • מתי הטיל נוחת?
              • מהו תחום העלייה, ומהו תחום הירידה?
              • לאיזה חלק של הגרף יש משמעות?
              y=−5x2+40x\displaystyle y=-5x^{2}+40x
              הגובה הרב ביותר

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                מתי הוא מגיע אליו

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  הנחיתה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה