דלג לתוכן

ציון תקן: המרחק מהממוצע בסטיות תקן

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 11 מתוך 14לימוד

ציון תקן: המרחק מהממוצע בסטיות תקן

ציון במתמטיקה וציון באנגלית

נועה קיבלה 85 במבחן במתמטיקה ו-80 במבחן באנגלית. באיזה מקצוע הצליחה יותר, ביחס לשכבה?
במתמטיקה הממוצע בשכבה 70 וסטיית התקן 10.
באנגלית הממוצע 65 וסטיית התקן 5.

  • במתמטיקה נועה מעל הממוצע ב-15 נקודות – סטיית תקן וחצי: 85−7010=1.5\displaystyle {\frac{85-70}{10}}={1.5}.
  • באנגלית היא מעל הממוצע באותן 15 נקודות, אבל שם זה שלוש סטיות תקן: 80−655=3\displaystyle {\frac{80-65}{5}}={3}.

באנגלית הציונים צפופים סביב הממוצע, ולכן 80 בולט שם הרבה יותר: נועה הצליחה יותר באנגלית, אף שהציון נמוך יותר.

ציון התקן

ציון התקן של ערך הוא המרחק שלו מהממוצע, במספר של סטיות תקן:

z=x−μσ\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}
  • ערך מעל הממוצע – ציון תקן חיובי; מתחתיו – שלילי; הממוצע עצמו – 0.
  • נועה קיבלה 60 במתמטיקה בבחינה הקודמת: z=60−7010=−1\displaystyle {z}={\frac{60-70}{10}}={-1}, סטיית תקן אחת מתחת לממוצע.
  • ציון התקן אינו תלוי ביחידות: אפשר להשוות כך בין ציונים, גבהים, זמנים ומשקלים.
מציון תקן לערך

אם ידוע ציון התקן, הערך הוא הממוצע ועוד z\displaystyle z סטיות תקן:

x=μ+zσ\displaystyle x=\mu+z\sigma

למשל, במתמטיקה ציון התקן z=2\displaystyle {z}={2} שייך לציון 70+2⋅10=90\displaystyle {70+2\cdot10}={90}, וציון התקן z=−0.5\displaystyle {z}={-0.5} – לציון 70−0.5⋅10=65\displaystyle {70-0.5\cdot10}={65}.

ערך לפי אחוז

כלל 34/13.5/2.5 נותן גם את הדרך ההפוכה: מאחוז לערך.

תוכנית למחוננים מקבלת את 2.5% העליונים במבחן מנת משכל, שבו μ=100\displaystyle {\mu}={100} ו-σ=15\displaystyle {\sigma}={15}. מאיזה ציון מתקבלים?

557085100115130145ציון במבחן מנת משכל
  • 2.5% העליונים הם מעל שתי סטיות תקן: z=2\displaystyle {z}={2}.
  • x=100+2⋅15=130\displaystyle {x}={100+2\cdot15}={130}: מציון 130 ומעלה.
האחוזהגבולz\displaystyle z
2.5% העליוניםמעל μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma2\displaystyle 2
16% העליוניםמעל μ+σ\displaystyle \mu+\sigma1\displaystyle 1
16% התחתוניםמתחת ל-μ−σ\displaystyle \mu-\sigma−1\displaystyle -1
2.5% התחתוניםמתחת ל-μ−2σ\displaystyle \mu-2\sigma−2\displaystyle -2
תרגיל 1

הציונים במבחן כניסה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100.

א

רון קיבל 650. חשבו את ציון התקן שלו.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    ציון התקן של דנה −0.5\displaystyle -0.5. מה הציון שלה?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      דנה מתחרה באתלטיקה.
      בקפיצה לרוחק היא קפצה 5.6 מטרים. התוצאות של בנות גילה: ממוצע 5 מטרים, סטיית תקן 0.3 מטר.
      בריצת 100 מטרים היא רצה 13.2 שניות. התוצאות של בנות גילה: ממוצע 14 שניות, סטיית תקן 0.4 שנייה.

      א

      חשבו את ציון התקן שלה בקפיצה לרוחק.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        חשבו את ציון התקן שלה בריצה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          בריצה זמן נמוך הוא תוצאה טובה. באיזה ענף דנה בולטת יותר ביחס לבנות גילה? הסבירו.

          תרגיל 3

          משקל הלידה מתפלג נורמלית, עם ממוצע 3,300 גרם וסטיית תקן 500 גרם.
          ציון התקן של משקל הלידה של תינוק הוא −1.5\displaystyle -1.5. כמה הוא שקל?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            המשקל של תפוחים במטע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 180 גרם וסטיית תקן 20 גרם.

            א

            2.5% מהתפוחים הכבדים ביותר נשלחים לייצוא. מאיזה משקל?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              16% מהתפוחים הקלים ביותר הולכים למיץ. עד איזה משקל?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה