דלג לתוכן

מרחק עצירה וקשת של גשר

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 6 מתוך 14לימוד

מרחק עצירה וקשת של גשר

מרחק הבלימה

מרחק הבלימה הוא הדרך שמכונית עוברת מהרגע שהנהג לוחץ על הבלם ועד שהיא עומדת. בכביש יבש, במטרים, כשהמכונית נוסעת במהירות v\displaystyle v קמ"ש:

d=0.005v2d=0.005v^{2}
v\displaystyle v (קמ"ש)25\displaystyle 2550\displaystyle 50100\displaystyle 100
d\displaystyle d (מטרים)3.125\displaystyle 3.12512.5\displaystyle 12.550\displaystyle 50
  • מהירות כפולה נותנת מרחק בלימה פי 4: (2v)2=4v2\displaystyle {(2v)^{2}}={4v^{2}}. מ-50 ל-100 קמ"ש המרחק גדל מ-12.5 ל-50 מטרים.
  • הסיבה: האנרגיה של מכונית בתנועה גדלה כמו ריבוע המהירות, והבלמים צריכים לבלוע את כולה.
מרחק התגובה ומרחק העצירה

לפני שהנהג לוחץ על הבלם עובר בערך שנייה: הוא רואה את הסכנה ומזיז את הרגל. בזמן הזה המכונית ממשיכה באותה מהירות, ועוברת בערך 0.3v\displaystyle 0.3v מטרים – מרחק התגובה.

מרחק העצירה הוא שניהם יחד:

s=0.005v2+0.3vs=0.005v^{2}+0.3v
v\displaystyle v (קמ"ש)30\displaystyle 3050\displaystyle 5080\displaystyle 80100\displaystyle 100
מרחק התגובה9\displaystyle 915\displaystyle 1524\displaystyle 2430\displaystyle 30
מרחק הבלימה4.5\displaystyle 4.512.5\displaystyle 12.532\displaystyle 3250\displaystyle 50
מרחק העצירה13.5\displaystyle 13.527.5\displaystyle 27.556\displaystyle 5680\displaystyle 80

בלוח, x\displaystyle x הוא המהירות; הקו הרציף הוא מרחק הבלימה, והמקווקו – מרחק העצירה:

y=0.005x2\displaystyle y=0.005x^{2}
y=0.005x2+0.3x\displaystyle y=0.005x^{2}+0.3x

במהירות נמוכה רוב מרחק העצירה הוא מרחק התגובה, ובמהירות גבוהה – מרחק הבלימה.

המהירות שמאפשרת לעצור בזמן

נהג רואה מכשול 56 מטרים לפניו. באיזו מהירות הוא יכול עוד לעצור לפניו?

0.005v2+0.3v=560.005v^{2}+0.3v=56
  • נכפול ב-200: v2+60v=11200\displaystyle {v^{2}+60v}={11200}, כלומר v2+60v−11200=0\displaystyle {v^{2}+60v-11200}={0}.
  • בנוסחת השורשים: v=−60±3600+448002=−60±2202\displaystyle {v}={\frac{-60\pm\sqrt{3600+44800}}{2}}={\frac{-60\pm220}{2}}.
  • v=80\displaystyle {v}={80} או v=−140\displaystyle {v}={-140}.

למהירות שלילית אין משמעות: עד 80 קמ"ש הנהג עוצר לפני המכשול.

קשת של גשר

גשר נתמך בקשת בצורת פרבולה.
הגובה של הקשת מעל המים, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מקצה אחד שלה: y=−0.02x2+2x\displaystyle {y}={-0.02x^{2}+2x}

y=−0.02x2+2x\displaystyle y=-0.02x^{2}+2x
y=32\displaystyle y=32
V=(50,50)\displaystyle V=(50,50)
A=(20,32)\displaystyle A=(20,32)
B=(80,32)\displaystyle B=(80,32)
  • הרוחב: הקשת יוצאת מהמים ב-x=0\displaystyle {x}={0} וחוזרת אליהם ב-x=100\displaystyle {x}={100} – נקודות האפס. היא ברוחב 100 מטרים.
  • הגובה: באמצע, ב-x=50\displaystyle {x}={50}, y=−0.02⋅2500+100=50\displaystyle {y}={-0.02\cdot2500+100}={50} מטרים.
  • ספינה בגובה 32 מטרים: נפתור −0.02x2+2x=32\displaystyle {-0.02x^{2}+2x}={32}, ונקבל x=20\displaystyle {x}={20} או x=80\displaystyle {x}={80}. הקשת גבוהה מ-32 מטרים רק בין 20 ל-80 – רצועה ברוחב 60 מטרים, שבה הספינה יכולה לעבור.
תרגיל 1

מרחק הבלימה בכביש יבש, במטרים: d=0.005v2\displaystyle {d}={0.005v^{2}}

א

חשבו את מרחק הבלימה במהירות 30 קמ"ש.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את מרחק הבלימה במהירות 60 קמ"ש.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      חשבו את מרחק הבלימה במהירות 120 קמ"ש.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        פי כמה גדל מרחק הבלימה כשהמהירות גדלה מ-30 ל-60 קמ"ש? ומ-60 ל-120? הסבירו.

        מ-30 ל-60

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          מ-60 ל-120

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 2

            ליד בית ספר ילד יוצא לכביש 27.5 מטרים לפני מכונית.
            מרחק העצירה, במטרים: s=0.005v2+0.3v\displaystyle {s}={0.005v^{2}+0.3v}
            מה המהירות הגבוהה ביותר שבה המכונית עוד יכולה לעצור לפני הילד?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                הפתח של מנהרה הוא בצורת פרבולה.
                הגובה של התקרה, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מקצה אחד של הפתח: y=−0.125x2+2x\displaystyle {y}={-0.125x^{2}+2x}
                סמנו בלוח את הנקודה הגבוהה ביותר ואת נקודות האפס, ובדקו.
                מה הרוחב של המנהרה בתחתית, ומה הגובה שלה באמצע?

                y=−0.125x2+2x\displaystyle y=-0.125x^{2}+2x

                הרוחב בתחתית

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  הגובה באמצע

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    משאית בגובה 6 מטרים נכנסת למנהרה מתרגיל 3.
                    איפה התקרה בגובה 6 מטרים? באיזה רוחב יש למשאית מקום לעבור?

                      x\displaystyle x הקטן

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        x\displaystyle x הגדול

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          הרוחב

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה