דלג לתוכן

הקודקוד: הגובה המרבי והערך הקטן ביותר

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 3 מתוך 14לימוד

הקודקוד: הגובה המרבי והערך הקטן ביותר

באמצע בין שני זמנים עם אותו גובה

הקודקוד נמצא על ציר הסימטריה, ולכן באמצע בין כל שני ערכי x\displaystyle x שיש להם אותו y\displaystyle y.

כדור נזרק מהקרקע, והגובה שלו במטרים אחרי t\displaystyle t שניות: h=−5t2+30t\displaystyle {h}={-5t^{2}+30t}.

t\displaystyle t0\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 34\displaystyle 45\displaystyle 56\displaystyle 6
h\displaystyle h0\displaystyle 025\displaystyle 2540\displaystyle 4045\displaystyle 4540\displaystyle 4025\displaystyle 250\displaystyle 0
  • בגובה 25 מטרים הכדור עובר פעמיים: ב-t=1\displaystyle {t}={1} וב-t=5\displaystyle {t}={5}.
  • באמצע ביניהם, ב-t=1+52=3\displaystyle {t}={\frac{1+5}{2}}={3}, הוא בגובה הרב ביותר: 45 מטרים.
  • גם נקודות האפס, t=0\displaystyle {t}={0} ו-t=6\displaystyle {t}={6}, נותנות את אותו אמצע.
x=x1+x22\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}
הנוסחה של ציר הסימטריה

לפי נוסחת השורשים, נקודות האפס הן −b+b2−4ac2a\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ו-−b−b2−4ac2a\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. כשמחברים אותן, השורשים מתבטלים, והאמצע שלהן הוא −b2a\displaystyle \frac{-b}{2a}. זה ה-x\displaystyle x של הקודקוד:

x=−b2a\displaystyle x=-\frac{b}{2a}

את ה-y\displaystyle y של הקודקוד מקבלים כשמציבים את ה-x\displaystyle x הזה בנוסחה.

בכדור: a=−5\displaystyle {a}={-5}, b=30\displaystyle {b}={30}, ולכן t=−302⋅(−5)=3\displaystyle {t}={-\frac{30}{2\cdot(-5)}}={3}, ו-h=−5⋅32+30⋅3=45\displaystyle {h}={-5\cdot3^{2}+30\cdot3}={45}.

הגובה המרבי של סילון

במזרקה בכיכר המים יוצאים מצינור שבגובה מטר אחד.
הגובה של הסילון, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מהצינור: y=−0.5x2+3x+1\displaystyle {y}={-0.5x^{2}+3x+1}

  • a=−0.5\displaystyle {a}={-0.5}, b=3\displaystyle {b}={3}, ולכן x=−32⋅(−0.5)=31=3\displaystyle {x}={-\frac{3}{2\cdot(-0.5)}}={\frac{3}{1}}={3}.
  • y=−0.5⋅32+3⋅3+1=−4.5+9+1=5.5\displaystyle {y}={-0.5\cdot3^{2}+3\cdot3+1}={-4.5+9+1}={5.5}.

הסילון מגיע לגובה הרב ביותר, 5.5 מטרים, במרחק 3 מטרים מהצינור.

y=−0.5x2+3x+1\displaystyle y=-0.5x^{2}+3x+1
V=(3,5.5)\displaystyle V=(3,5.5)
ערך קטן ביותר: חיסכון בדלק

אותה נוסחה נותנת גם נקודה נמוכה ביותר, כש-a>0\displaystyle a>0.

צריכת הדלק של מכונית, בליטרים ל-100 ק"מ, כשהיא נוסעת במהירות v\displaystyle v קמ"ש:
c=0.002v2−0.24v+12\displaystyle {c}={0.002v^{2}-0.24v+12}

  • v=−−0.242⋅0.002=0.240.004=60\displaystyle {v}={-\frac{-0.24}{2\cdot0.002}}={\frac{0.24}{0.004}}={60} קמ"ש.
  • c=0.002⋅602−0.24⋅60+12=7.2−14.4+12=4.8\displaystyle {c}={0.002\cdot60^{2}-0.24\cdot60+12}={7.2-14.4+12}={4.8} ליטרים.

במהירות 60 קמ"ש המכונית צורכת הכי מעט דלק: 4.8 ליטרים ל-100 ק"מ. מהר יותר – ההתנגדות של האוויר גדלה; לאט יותר – המנוע עובד בהילוך נמוך ולא חסכוני.

תרגיל 1

כדור נבעט מהקרקע ישר למעלה.
הגובה שלו, במטרים, t\displaystyle t שניות אחרי הבעיטה: h=−5t2+40t\displaystyle {h}={-5t^{2}+40t}

א

אחרי כמה שניות הכדור בגובה הרב ביותר?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מה הגובה הרב ביותר?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 2

      סילון של ממטרה בגינה.
      הגובה של המים, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מהממטרה: y=−0.25x2+2x+0.5\displaystyle {y}={-0.25x^{2}+2x+0.5}

      א

      באיזה מרחק מהממטרה הסילון בגובה הרב ביותר?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        מה הגובה הרב ביותר של הסילון?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          רמפה של סקייטבורד בצורת חצי צינור, ברוחב 12 מטרים.
          הגובה של הרמפה, במטרים, במרחק x\displaystyle x מטרים מהקצה שלה: y=0.1x2−1.2x+3.6\displaystyle {y}={0.1x^{2}-1.2x+3.6}

          א

          באיזה מרחק מהקצה נמצאת הנקודה הנמוכה ביותר של הרמפה?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            מה הגובה של הרמפה בנקודה הזאת?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              חיישן מדד את הגובה של כדור שנזרק למעלה.
              אחרי 0.5 שנייה ואחרי 2.5 שניות הכדור היה באותו גובה, 11.25 מטרים.

              א

              אחרי כמה שניות הכדור היה בגובה הרב ביותר?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                הגובה של הכדור, במטרים, t\displaystyle t שניות אחרי הזריקה: h=−5t2+15t+5\displaystyle {h}={-5t^{2}+15t+5}
                מה הגובה הרב ביותר?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה