נקודות האפס: מתי הכדור נוחת

מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 4 מתוך 14לימוד

נקודות האפס: מתי הכדור נוחת

מתי האבן פוגעת במים

האבן מהשיעור הקודם נזרקה מצוק, והגובה שלה מעל המים אחרי $\displaystyle t$ שניות הוא $\displaystyle {h}={-5t^{2}+20t+25}$ .
היא פוגעת במים כשהגובה 0, ולכן נפתור את המשוואה:

-5t^{2}+20t+25=0

נחלק את שני האגפים ב- $\displaystyle -5$ : $\displaystyle {t^{2}-4t-5}={0}$ .
בנוסחת השורשים, עם $\displaystyle {a}={1}$ , $\displaystyle {b}={-4}$ , $\displaystyle {c}={-5}$ : $\displaystyle {t_{1,2}}={\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}}={\frac{4\pm6}{2}}$ .
$\displaystyle {t}={5}$ או $\displaystyle {t}={-1}$ .

לזמן שלילי אין משמעות, ולכן האבן פוגעת במים אחרי 5 שניות.

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

מתי האבן בגובה נתון

מתי האבן בגובה 40 מטרים? הפעם הגובה הוא 40, ולא 0:

-5t^{2}+20t+25=40

נעביר את 40 לאגף השמאלי: $\displaystyle {-5t^{2}+20t-15}={0}$ , ונחלק ב- $\displaystyle -5$ : $\displaystyle {t^{2}-4t+3}={0}$ .
$\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={3}$ .

בגרף, אלה הנקודות שבהן הפרבולה פוגשת את הישר $\displaystyle {y}={40}$ :

\displaystyle y=-5x^{2}+20x+25

\displaystyle y=40

\displaystyle y=50

\displaystyle A=(1,40)

\displaystyle B=(3,40)

אחרי שנייה אחת האבן עוברת את הגובה 40 בדרך למעלה, ואחרי 3 שניות – בדרך למטה. שני הפתרונות נכונים.
הישר $\displaystyle {y}={50}$ לא פוגש את הפרבולה בכלל: למשוואה $\displaystyle {-5t^{2}+20t+25}={50}$ אין פתרון, כי הגובה הרב ביותר של האבן הוא 45 מטרים.

תשובה מעוגלת

לפעמים השורש אינו מספר שלם. סילון של מזרקה יוצא מגובה מטר אחד, והגובה שלו במרחק $\displaystyle x$ מטרים הוא $\displaystyle {y}={-x^{2}+4x+1}$ . איפה המים פוגעים בקרקע?

$\displaystyle {-x^{2}+4x+1}={0}$ , ובנוסחת השורשים: $\displaystyle {x}={2+\sqrt{5}}$ או $\displaystyle {x}={2-\sqrt{5}}$ .
$\displaystyle 2-\sqrt{5}$ שלילי – מאחורי הצינור, ואין לו משמעות.
$\displaystyle 2+\sqrt{5}\approx4.24$ .

המים פוגעים בקרקע במרחק של כ-4.24 מטרים מהצינור.

תרגיל 1

ילד זורק כדור ממרפסת בגובה 20 מטרים.
הגובה של הכדור מעל החצר, במטרים, $\displaystyle t$ שניות אחרי הזריקה: $\displaystyle {h}={-5t^{2}+15t+20}$

פתרו את המשוואה. אחרי כמה שניות הכדור פוגע בחצר?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מתי הכדור בגובה 30 מטרים?

האם הכדור מגיע לגובה 35 מטרים? פתרו, והסבירו את התשובה.

תרגיל 2

ממטרה שבגובה מטר אחד מעל הדשא מתיזה מים.
הגובה של המים, במטרים, במרחק $\displaystyle x$ מטרים מהממטרה: $\displaystyle {y}={-0.5x^{2}+2x+1}$

פתרו את המשוואה.

באיזה מרחק מהממטרה המים פוגעים בדשא? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

מספר החולים בשפעת בעיר, במאות, $\displaystyle x$ שבועות אחרי תחילת החורף: $\displaystyle {y}={-x^{2}+10x+24}$
סמנו בלוח את הנקודות שבהן מספר החולים 4,000, ובדקו.
באילו שבועות היו בעיר 4,000 חולים? מתי הייתה השפעת בשיא, וכמה חולים היו אז? מתי, לפי המודל, השפעת נעלמת?

\displaystyle y=-x^{2}+10x+24

\displaystyle y=40

השבוע של השיא

החולים בשיא

השפעת נעלמת

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מודל ריבועי

מודל ריבועי – $\displaystyle a<0$ : יש נקודה גבוהה ביותר, $\displaystyle a>0$ : יש נקודה נמוכה ביותר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ $\displaystyle a\neq0$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – ציר הסימטריה
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – באמצע בין שני ערכי $\displaystyle x$ שיש להם אותו $\displaystyle y$
$\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ – נקודות האפס
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

מודלים נוספים

קשר קווי – ההפרשים בטבלה שווים
$\displaystyle y=mx+b$
קשר מעריכי – היחס בין שני ערכים סמוכים בטבלה קבוע, $\displaystyle b$
$\displaystyle y=a\cdot b^{x}$

ההתפלגות הנורמלית

סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים – $\displaystyle \bar{x}$ הממוצע שלהם
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}}$
בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
כמה נתונים מתוך $\displaystyle n$ הם $\displaystyle p$ אחוזים מהם
$\displaystyle n\cdot p\%$

ציון תקן

ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$