אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)
הנגזרת: כלי שמגלה איפה פונקציה עולה, איפה היא יורדת ואיפה היא מגיעה לשיא.נושאים
הקורס נשען על האלגברה של כיתה ט’: פירוק לגורמים, שברים אלגבריים, נוסחת השורשים, הפרבולה והזזות שלה. הנושאים, לפי הסדר:
- טכניקה אלגברית: פירוק לגורמים, חזקות ושורשים, שברים אלגבריים;
- משוואות ואי־שוויונות: ממעלה ראשונה ושנייה, מערכות, משוואות עם שברים, עם שורש ומשוואה דו־ריבועית;
- קדם אנליזה: תכונות של פונקציה, זוגיות ואי־זוגיות, הפונקציות ו־, הזזות, שיקופים, מתיחות וערך מוחלט;
- הנגזרת של פולינום: קצב שינוי, הנגזרת בנקודה, כללי הגזירה, משוואת המשיק, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון, חקירה וסקיצה, גרף הנגזרת ופרמטרים;
- הנגזרת של פונקציית שורש, וחקירה של פונקציית שורש;
- בעיות ערך קיצון: מספרים, כלכלה, גרפים וצורות במישור.
יש שני סוגים של שיעורים:
- שיעורי לימוד – הסבר, דוגמאות פתורות וכמה שאלות לנסות;
- שיעורי תרגול – שאלות בלבד.
איך עובדים בדף: שימוש בדף.
- טכניקה אלגברית: פירוק לגורמים, חזקות ושורשיםלימודפירוק לגורמים בהוצאת גורם משותף, בנוסחאות הכפל המקוצר ובפירוק טרינום; צמצום וחיבור של שברים אלגבריים; חוקי החזקות; כפל וחילוק של שורשים, הוצאת גורם מהשורש והכנסת גורם לשורש.
- משוואות ואי־שוויונות ממעלה ראשונה ושנייהלימודמשוואה ממעלה ראשונה ומשוואה ריבועית, הדיסקרימיננטה ומספר הפתרונות, מערכת של שתי משוואות עד מעלה שנייה, אי־שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה, והמשמעות הגרפית של כל אחד מהם.
- משוואות עם שברים, עם שורש ובהצבהלימודמשוואה עם שברים ותחום ההצבה שלה, משוואה עם שורש אחד או שניים – העלאה בריבוע ובדיקה, משוואה דו־ריבועית ומשוואות אחרות בהצבה, ומספר הפתרונות כמספר נקודות החיתוך של שני גרפים.
- תכונות של פונקציה, זוגיות ואי־זוגיותלימודתחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון של הפונקציה הקווית והריבועית; פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית – באלגברה ובגרף.
- פונקציות חזקה ופונקציית השורשלימודפונקציות חזקה עם מעריך טבעי – זוגי ואי־זוגי – והתכונות שלהן; פונקציית השורש הריבועי, תחום ההגדרה שלה ונקודת קיצון בקצה התחום; ומשוואה שבה חזקה של x שווה למספר.
- הזזות ושיקופים של גרףלימודהוספה של מספר לפונקציה או ל־x מזיזה את הגרף שלה למעלה, למטה או הצידה; סימן מינוס לפני הפונקציה או לפני x משקף אותו ביחס לציר.
- מתיחה, כיווץ וערך מוחלטלימודכפל של פונקציה במספר מותח או מכווץ את הגרף שלה; הערך המוחלט משקף את החלק שמתחת לציר ה־x אל מעליו; ושילוב של כמה טרנספורמציות.
- תרגול: אלגברה ופונקציותתרגולפירוק לגורמים, שורשים, משוואות ואי־שוויונות מסוגים שונים, זוגיות ואי־זוגיות, הזזות, שיקופים, מתיחות וערך מוחלט.
- קצב שינוי והנגזרת בנקודהלימודקצב שינוי אחיד הוא שיפוע של ישר; קצב השינוי הממוצע הוא שיפוע המיתר; כשהנקודה השנייה מתקרבת לראשונה מקבלים את הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק.
- פונקציית הנגזרת וכללי הגזירהלימודהנגזרת בכל נקודה היא פונקציה בעצמה; הנגזרת של חזקה, של קבוע, של כפל בקבוע ושל סכום, וערך הנגזרת בנקודה.
- נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבתלימודהנגזרת של מכפלת שתי פונקציות, והנגזרת של פונקציה מורכבת בשני שלבים: הנגזרת החיצונית כפול הנגזרת הפנימית.
- משוואת המשיקלימודהמשיק לגרף בנקודה: השיפוע מהנגזרת, הנקודה מהפונקציה ומשוואת הישר; נקודה שבה למשיק יש שיפוע נתון, משיק אופקי ומשיק המקביל לישר.
- תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןלימודהסימן של הנגזרת קובע איפה הפונקציה עולה ואיפה היא יורדת; נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת, טבלת סימנים, קיצון מקומי ומוחלט וקיצון בקצה תחום ההגדרה.
- חקירת פולינוםלימודשלבי החקירה של פונקציה פולינומיאלית – תחום הגדרה, זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, עלייה וירידה, נקודות קיצון – סקיצה של הגרף, ומספר הפתרונות של המשוואה f(x)=k.
- גרף הנגזרת ופרמטריםלימודמה גרף הנגזרת מספר על הפונקציה, סקיצה של גרף הנגזרת מתוך גרף הפונקציה, מציאת פרמטר לפי משיק או לפי נקודת קיצון, ונקודות הקיצון אחרי הזזה ושיקוף.
- תרגול: הנגזרת וחקירת פולינוםתרגולקצב שינוי ממוצע, הנגזרת בנקודה, כללי הגזירה, משוואת המשיק, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון, גרף הנגזרת ופרמטרים.
- הנגזרת של פונקציית שורשלימודתחום ההגדרה של שורש של פונקציה, הנגזרת של השורש ושל שורש של פונקציה, סכום ומכפלה של שורש ופולינום, ומשיק לגרף של פונקציית שורש.
- חקירת פונקציית שורשלימודתחום ההגדרה, נקודות החיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון – גם בקצה תחום ההגדרה – וסקיצה של גרף של פונקציית שורש.
- בעיות ערך קיצוןלימודהשלבים של בעיית קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור: בעיות מספרים, בעיות כלכליות, פונקציות וגרפים וצורות במישור.
- חזרה: אלגברה וחשבון דיפרנציאליתרגולשאלות מכל הקורס: משוואות, טרנספורמציות, הנגזרת והמשיק, חקירת פולינום ופונקציית שורש, גרף הנגזרת, פרמטרים ובעיית ערך קיצון.
עודכן לאחרונה ב