טכניקה אלגברית: פירוק לגורמים, חזקות ושורשים

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 1 מתוך 20לימוד

טכניקה אלגברית: פירוק לגורמים, חזקות ושורשים

פירוק לגורמים

פירוק לגורמים הופך סכום למכפלה. מכפלה שווה 0 רק כשאחד הגורמים שלה שווה 0 – וכך נמצא בהמשך הקורס איפה הנגזרת מתאפסת ואיפה פונקציה מחליפה סימן.

שלוש דרכים לפרק:

הוצאת גורם משותף: $\displaystyle {3x^2-12x}={3x(x-4)}$ .
נוסחאות הכפל המקוצר: $\displaystyle {x^2-10x+25}={(x-5)^2}$ , ו־ $\displaystyle {4x^2-9}={(2x+3)(2x-3)}$ .
פירוק טרינום – בתיבה הבאה.

נוסחאות הכפל המקוצר, בכיוון של הפירוק:

\displaystyle a^2-2ab+b^2

\displaystyle =

\displaystyle (a-b)^2

\displaystyle a^2-b^2

\displaystyle =

\displaystyle (a+b)(a-b)

מפרקים עד הסוף: אחרי שהוצאנו גורם משותף, בודקים אם אפשר לפרק עוד את מה שנשאר בסוגריים.

2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)

פירוק טרינום

טרינום $\displaystyle ax^2+bx+c$ מתפרק לפי השורשים שלו: $\displaystyle x_1$ ו־ $\displaystyle x_2$ הם הפתרונות של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$ .

\displaystyle ax^2+bx+c

\displaystyle =

\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)

כש־ $\displaystyle {a}={1}$ מחפשים שני מספרים שהמכפלה שלהם $\displaystyle c$ והסכום שלהם $\displaystyle b$ . ב־ $\displaystyle x^2-7x+12$ : המכפלה 12 והסכום $\displaystyle -7$ – אלה $\displaystyle -3$ ו־ $\displaystyle -4$ , ולכן $\displaystyle {x^2-7x+12}={(x-3)(x-4)}$ .
בכל טרינום אחר מוצאים את השורשים בנוסחת השורשים.

בדוגמה שלפניכם נפרק את $\displaystyle 2x^2+5x-3$ . לפי נוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm7}{4}

$\displaystyle {x_1}={\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle {x_2}={-3}$ .
$\displaystyle {2x^2+5x-3}={2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+3)}={(2x-1)(x+3)}$ – את ה־2 הכנסנו לסוגריים הראשונים.

שברים אלגבריים

שבר אלגברי מצמצמים כמו שבר של מספרים: מפרקים את המונה ואת המכנה לגורמים, ומבטלים גורם שמופיע בשניהם.

\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}

השבר מוגדר רק כשהמכנה אינו 0: כאן $\displaystyle x\neq2$ ו־ $\displaystyle x\neq-2$ . את התנאי הזה כותבים לפני הצמצום, כי אחרי הצמצום הגורם $\displaystyle x-2$ כבר לא נראה במכנה.
בחיבור ובחיסור מביאים למכנה משותף – גם הוא מתוך הפירוק לגורמים:

\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-2x}=\frac{x\cdot x}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x-2)}=\frac{x^2-4}{x(x-2)}=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x}

חוקי חזקות

חוקי החזקות של כיתה ט’, באותו בסיס:

\displaystyle a^m\cdot a^n

\displaystyle =

\displaystyle a^{m+n}

\displaystyle \frac{a^m}{a^n}

\displaystyle =

\displaystyle a^{m-n}

\displaystyle (a^m)^n

\displaystyle =

\displaystyle a^{mn}

\displaystyle (ab)^n

\displaystyle =

\displaystyle a^nb^n

בדוגמה שלפניכם נפשט ביטוי בעזרת שלושה מהחוקים:

\frac{(2x^3)^2}{4x^4}=\frac{4x^6}{4x^4}=x^2

שורשים ריבועיים

מכפלה של שורשים היא השורש של המכפלה, ומנה של שורשים היא השורש של המנה:

\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{ab}

\displaystyle a\geq0,\ b\geq0

\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\displaystyle =

\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}

\displaystyle a\geq0,\ b>0

הוצאת גורם מהשורש: מפרקים את המספר שמתחת לשורש למכפלה שאחד הגורמים בה ריבוע. $\displaystyle {\sqrt{50}}={\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}}={5\sqrt{2}}$ .
הכנסת גורם לשורש: הגורם נכנס כריבוע שלו. $\displaystyle {3\sqrt{2}}={\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}}={\sqrt{18}}$ .
שורשים מחברים רק כשהמספר שמתחת לשורש זהה: $\displaystyle {\sqrt{8}+\sqrt{2}}={2\sqrt{2}+\sqrt{2}}={3\sqrt{2}}$ .

תרגיל 1

פרקו לגורמים, עד שאי אפשר לפרק אף גורם.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

צמצמו את השברים.

לאילו ערכים של $\displaystyle x$ השבר בסעיף 1 אינו מוגדר?

תרגיל 3

כתבו כשבר אחד, מצומצם.

תרגיל 4

פשטו.

תרגיל 5

איזה מספר גדול יותר: $\displaystyle 3\sqrt{2}$ או $\displaystyle 2\sqrt{5}$ ?
הכניסו את הגורם לשורש בכל אחד מהם, והשוו.

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$