גרף הנגזרת ופרמטרים

גרף הנגזרת מראה בכל $\displaystyle x$ את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה. לכן קוראים בו את הסימן של $\displaystyle f'$, ולא את הערכים של $\displaystyle f$:

• איפה הגרף של $\displaystyle f'$ מעל ציר ה־$\displaystyle x$ – הפונקציה $\displaystyle f$ עולה.
• איפה הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר ה־$\displaystyle x$ – הפונקציה $\displaystyle f$ יורדת.
• גרף $\displaystyle f'$ חוצה את ציר ה־$\displaystyle x$ מלמעלה למטה – ל־$\displaystyle f$ שם מקסימום; מלמטה למעלה – מינימום.
• גרף $\displaystyle f'$ נוגע בציר ה־$\displaystyle x$ ולא חוצה אותו – המשיק לגרף $\displaystyle f$ אופקי, אבל אין שם קיצון.

בציור – הגרף של פונקציית הנגזרת $\displaystyle f'(x)$, ולא של $\displaystyle f(x)$.
הגרף של $\displaystyle f'$ עובר דרך הנקודות $\displaystyle (-2,0)$ ו־$\displaystyle (1,0)$.

בדוגמה שלפניכם נקרא בגרף של $\displaystyle f'$ את התכונות של $\displaystyle f$:

• כש־$\displaystyle x<-2$ הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר, ולכן $\displaystyle f$ יורדת.
• כש־$\displaystyle x>-2$ (חוץ מ־$\displaystyle {x}={1}$) הגרף של $\displaystyle f'$ מעל הציר, ולכן $\displaystyle f$ עולה.
• ב־$\displaystyle {x}={-2}$ הגרף של $\displaystyle f'$ חוצה את הציר מלמטה למעלה: ל־$\displaystyle f$ יש שם נקודת מינימום.
• ב־$\displaystyle {x}={1}$ הגרף של $\displaystyle f'$ רק נוגע בציר: המשיק לגרף $\displaystyle f$ שם אופקי, אבל $\displaystyle f$ עולה לפניו ואחריו – אין קיצון.

בדוגמה שלפניכם נשרטט את גרף הנגזרת של $\displaystyle {f(x)}={4x^3-3x}$ מתוך התכונות של $\displaystyle f$.

• הפונקציה אי־זוגית: $\displaystyle {f(-x)}={-4x^3+3x}={-f(x)}$.
• $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-1\right)$ היא נקודת מינימום. הגרף סימטרי לראשית הצירים, ולכן $\displaystyle \left(-\frac{1}{2},1\right)$ היא נקודת מקסימום – בלי חישוב נוסף.
• $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בנקודות הקיצון: $\displaystyle {x}={-\frac{1}{2}}$ ו־$\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$.
• $\displaystyle f'(x)>0$ איפה ש־$\displaystyle f$ עולה: $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$ ו־$\displaystyle x>\frac{1}{2}$; $\displaystyle f'(x)<0$ ביניהן.

הגרף של $\displaystyle f'$ (המקווקו) הוא פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת את ציר ה־$\displaystyle x$ בשתי נקודות הקיצון של $\displaystyle f$. אכן, $\displaystyle {f'(x)}={12x^2-3}$.

פרמטר הוא מספר קבוע שלא ידוע, ומסמנים אותו באות: $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle k$. נתון על משיק או על נקודת קיצון נותן משוואה, והפתרון שלה הוא ערך הפרמטר.

• שיפוע המשיק ב־$\displaystyle x_1$ הוא $\displaystyle m$: המשוואה $\displaystyle {f'(x_1)}={m}$.
• ב־$\displaystyle x_1$ יש נקודת קיצון: המשוואה $\displaystyle {f'(x_1)}={0}$.

בדוגמה שלפניכם ל־$\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2}$ יש נקודת קיצון ב־$\displaystyle {x}={2}$. נמצא את $\displaystyle a$:

בדוגמה השנייה שיפוע המשיק לגרף $\displaystyle {f(x)}={ax^2-4x}$ ב־$\displaystyle {x}={1}$ הוא 6:

הזזה ושיקוף מזיזים את כל הגרף, ואיתו את נקודות הקיצון – בלי לגזור מחדש. ל־$\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ יש מקסימום $\displaystyle (-1,2)$ ומינימום $\displaystyle (1,-2)$.

• $\displaystyle {h(x)}={f(x-2)}$ – הזזה של 2 ימינה: מקסימום $\displaystyle (1,2)$, מינימום $\displaystyle (3,-2)$.
• $\displaystyle {k(x)}={-f(x)+3}$ – שיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle x$ והזזה של 3 למעלה. השיקוף הופך מקסימום למינימום: $\displaystyle (-1,2)$ עוברת ל־$\displaystyle (-1,1)$ והיא נקודת מינימום, ו־$\displaystyle (1,-2)$ עוברת ל־$\displaystyle (1,5)$ והיא נקודת מקסימום.

בציור – הגרף של פונקציית הנגזרת $\displaystyle f'(x)$ של פונקציה $\displaystyle f(x)$.
הגרף של $\displaystyle f'$ חותך את ציר ה־$\displaystyle x$ ב־$\displaystyle {x}={-2}$ וב־$\displaystyle {x}={3}$, ואת ציר ה־$\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,6)$.

מהם תחומי העלייה והירידה של $\displaystyle f$?

מהם שיעורי ה־$\displaystyle x$ של נקודות הקיצון של $\displaystyle f$, ומה הסוג של כל אחת?
נמקו.

נתון: גם ב־$\displaystyle {x}={1}$ הערך של $\displaystyle f'$ הוא 6.
באילו נקודות שיפוע המשיק לגרף $\displaystyle f$ הוא 6?
מה אפשר לומר על המשיקים בנקודות האלה?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2}$.

כתבו בלוח הגרפים את פונקציית הנגזרת שלה, $\displaystyle {y}={f'(x)}$.

באיזה תחום הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר ה־$\displaystyle x$?
מה קורה לפונקציה $\displaystyle f$ בתחום הזה?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax+1}$.
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ הוא 5.

כתבו משוואה ב־$\displaystyle a$ ופתרו אותה.

הנה הגרף עם הערך של $\displaystyle a$ שמצאתם.
כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (1,4)$.

לפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+bx^2}$ יש נקודת קיצון ב־$\displaystyle {x}={-2}$.

כתבו משוואה ב־$\displaystyle b$ ופתרו אותה.

הנה הגרף עם הערך של $\displaystyle b$ שמצאתם.
סמנו את נקודות הקיצון שלו.

קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון.

לפונקציה $\displaystyle {f(x)}={ax^3-3x}$ יש נקודת מינימום ב־$\displaystyle {x}={1}$.

כתבו משוואה ב־$\displaystyle a$ ופתרו אותה.

מהם השיעורים של נקודת המינימום?
הפונקציה אי־זוגית: מהי נקודת הקיצון השנייה שלה, ומה הסוג שלה?

לפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^3+3x^2}$ יש נקודת מינימום $\displaystyle (0,0)$ ונקודת מקסימום $\displaystyle (2,4)$.

מהן נקודות הקיצון של $\displaystyle {h(x)}={f(x-1)}$, ומה הסוג של כל אחת?

מהן נקודות הקיצון של $\displaystyle {k(x)}={-f(x)+2}$, ומה הסוג של כל אחת?

מגדירים $\displaystyle {g(x)}={f(x)+p}$.
מצאו את $\displaystyle p$ שבעבורו גרף $\displaystyle g$ משיק לציר ה־$\displaystyle x$ בנקודת המקסימום שלו.
כתבו משוואה ב־$\displaystyle p$ ופתרו אותה.