פונקציית הנגזרת וכללי הגזירה

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 10 מתוך 20לימוד

פונקציית הנגזרת וכללי הגזירה

פונקציית הנגזרת

ל־ $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ מצאנו בשיעור הקודם $\displaystyle {f'(1)}={2}$ , $\displaystyle {f'(2)}={4}$ , $\displaystyle {f'(3)}={6}$ : בכל נקודה הנגזרת היא פי 2 מה־ $\displaystyle x$ . אפשר לחשב אותה בבת אחת לכל $\displaystyle x$ :

\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h

כש־ $\displaystyle h$ מתקרב ל־0, $\displaystyle 2x+h$ מתקרב ל־ $\displaystyle 2x$ .
לכן $\displaystyle {f'(x)}={2x}$ : פונקציה שנותנת לכל $\displaystyle x$ את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שלו.
$\displaystyle f'(x)$ נקראת פונקציית הנגזרת של $\displaystyle f$ , ולמצוא אותה פירושו לגזור את $\displaystyle f$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle {f'(x)}={2x}$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 6$

הנגזרת של חזקה ושל קבוע

בדרך שבה גזרנו את $\displaystyle x^2$ גוזרים כל חזקה של $\displaystyle x$ : המעריך יורד לפני ה־ $\displaystyle x$ , והחזקה קטנה ב־1.

\displaystyle (x^n)'

\displaystyle =

\displaystyle nx^{n-1}

\displaystyle (c)'

\displaystyle =

\displaystyle 0

$\displaystyle {(x^5)'}={5x^4}$ , $\displaystyle {(x^3)'}={3x^2}$ .
$\displaystyle {(x)'}={1}$ : הגרף של $\displaystyle {y}={x}$ הוא ישר ששיפועו 1.
הגרף של קבוע, $\displaystyle {y}={7}$ , הוא ישר אופקי: השיפוע שלו 0, ולכן $\displaystyle {(7)'}={0}$ .

כפל בקבוע וסכום

מספר שכופל פונקציה נשאר לפני הנגזרת, וסכום והפרש נגזרים איבר־איבר:

\displaystyle (c\cdot f(x))'

\displaystyle =

\displaystyle c\cdot f'(x)

\displaystyle (f(x)\pm g(x))'

\displaystyle =

\displaystyle f'(x)\pm g'(x)

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle {f(x)}={4x^3-5x^2+7x-2}$ איבר־איבר:

f'(x)=4\cdot3x^2-5\cdot2x+7\cdot1-0=12x^2-10x+7

גם מקדם שהוא שבר נשאר לפני הנגזרת: $\displaystyle {\left(\frac{1}{3}x^3\right)'}={\frac{1}{3}\cdot3x^2}={x^2}$ .

מכפלה: פתיחת סוגריים לפני הגזירה

הנגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות. בינתיים פותחים את הסוגריים, ורק אז גוזרים.
$\displaystyle {f(x)}={(x+3)(2x-1)}$ .

f(x)=2x^2+5x-3

f'(x)=4x+5

מכפלת הנגזרות, $\displaystyle {(x+3)'\cdot(2x-1)'}={1\cdot2}={2}$ , אינה הנגזרת.
כלל למכפלה, בלי לפתוח סוגריים, יש בשיעור הבא.

הנגזרת בנקודה

כדי לדעת את שיפוע המשיק בנקודה, מציבים את ה־ $\displaystyle x$ שלה בפונקציית הנגזרת.
$\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2+2}$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle f'(x)$ , ונציב בה $\displaystyle {x}={1}$ ו־ $\displaystyle {x}={2}$ .

f'(x)=3x^2-6x

f'(1)=3-6=-3,\qquad f'(2)=12-12=0

בגרף: $\displaystyle f$ , והמשיקים בנקודות $\displaystyle (1,0)$ ו־ $\displaystyle (2,-2)$ (המקווקווים).

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+2

\displaystyle y=-2

\displaystyle y=-3x+3

ב־ $\displaystyle {x}={1}$ שיפוע המשיק $\displaystyle -3$ : הגרף יורד שם.
ב־ $\displaystyle {x}={2}$ שיפוע המשיק 0: המשיק אופקי, $\displaystyle {y}={-2}$ .
כדי למצוא איפה השיפוע הוא מספר מסוים, פותרים משוואה: $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , כלומר $\displaystyle {3x^2-6x}={0}$ , ומקבלים $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={2}$ .

תרגיל 1

גזרו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

פתחו סוגריים, ואחר כך גזרו.

תרגיל 3

$\displaystyle {f(x)}={x^3-4x^2+4x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x$

חשבו את $\displaystyle f'(2)$ ואת $\displaystyle f'(0)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x$

באיזו מהנקודות $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (2,0)$ המשיק לגרף של $\displaystyle f$ אופקי?
מהו שיפוע המשיק בנקודה השנייה?

תרגיל 4

$\displaystyle {f(x)}={x^2-6x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}-6x$

באיזו נקודה שיפוע המשיק לגרף של $\displaystyle f$ הוא 0?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

באיזו נקודה שיפוע המשיק לגרף של $\displaystyle f$ הוא 4?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

תרגיל 5

$\displaystyle {g(x)}={x^3-12x}$ .

מצאו את $\displaystyle g'(x)$ .

$\displaystyle g(x)=x^{3}-12x$

באילו נקודות המשיק לגרף של $\displaystyle g$ אופקי?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

תרגיל 6

אבן נופלת מגג.
$\displaystyle {s(t)}={5t^2}$ – הדרך במטרים שהאבן עוברת ב־ $\displaystyle t$ השניות הראשונות.
המהירות של האבן ברגע $\displaystyle t$ היא $\displaystyle s'(t)$ .
מהי המהירות של האבן אחרי 3 שניות?

$\displaystyle s(t)=5t^{2}$

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$