משוואות ואי־שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה

במשוואה ממעלה ראשונה הנעלם מופיע רק בחזקה ראשונה. פותחים סוגריים, מעבירים את האיברים עם $\displaystyle x$ לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני, ומחלקים במקדם של $\displaystyle x$.

• נפתח סוגריים: $\displaystyle {3x-6}={x+4}$.
• נחסר $\displaystyle x$ ונוסיף 6 לשני האגפים: $\displaystyle {2x}={10}$.
• נחלק ב־2: $\displaystyle {x}={5}$.

משוואה ריבועית $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$ פותרים בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים:

הביטוי שמתחת לשורש, $\displaystyle b^2-4ac$, נקרא הדיסקרימיננטה. הוא קובע כמה פתרונות יש למשוואה:

• $\displaystyle b^2-4ac>0$ – שני פתרונות;
• $\displaystyle {b^2-4ac}={0}$ – פתרון אחד;
• $\displaystyle b^2-4ac<0$ – אין פתרון, כי אין שורש למספר שלילי.

הפתרונות של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$ הם שיעורי ה־$\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$ עם ציר ה־$\displaystyle x$. בלוח – שלוש פרבולות שנבדלות רק במספר החופשי:

• $\displaystyle {y}={x^2-4x+3}$ חותכת את ציר ה־$\displaystyle x$ פעמיים: ל־$\displaystyle {x^2-4x+3}={0}$ שני פתרונות, 1 ו־3.
• $\displaystyle {y}={x^2-4x+4}$ נוגעת בציר ה־$\displaystyle x$ בנקודה אחת: ל־$\displaystyle {x^2-4x+4}={0}$ פתרון אחד, 2.
• $\displaystyle {y}={x^2-4x+5}$ כולה מעל ציר ה־$\displaystyle x$: ל־$\displaystyle {x^2-4x+5}={0}$ אין פתרון.

מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים פותרים בהצבה: מבודדים נעלם באחת המשוואות ומציבים אותו בשנייה. כל פתרון של המערכת הוא נקודת חיתוך של שני הגרפים.

בדוגמה שלפניכם נפתור את המערכת $\displaystyle {y}={x+2}$, $\displaystyle {y}={x^2}$:

• נציב $\displaystyle {y}={x+2}$ במשוואה השנייה: $\displaystyle {x^2}={x+2}$, כלומר $\displaystyle {x^2-x-2}={0}$.
• נפרק: $\displaystyle {(x-2)(x+1)}={0}$, ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-1}$.
• נציב ב־$\displaystyle {y}={x+2}$: הפתרונות הם $\displaystyle (2,4)$ ו־$\displaystyle (-1,1)$ – שתי נקודות החיתוך של הישר והפרבולה.

הפתרון של משוואה הוא מספרים בודדים; הפתרון של אי־שוויון הוא תחום של מספרים. אי־שוויון ממעלה שנייה פותרים בעזרת הפרבולה:

• פותרים את המשוואה – אלה הנקודות שבהן הפרבולה חותכת את ציר ה־$\displaystyle x$;
• לפי הסימן של $\displaystyle a$ קובעים אם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה;
• קוראים מהגרף איפה הפרבולה מעל ציר ה־$\displaystyle x$ ואיפה מתחתיו.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle x^2-2x-3>0$. הפתרונות של $\displaystyle {x^2-2x-3}={0}$ הם $\displaystyle -1$ ו־3, ו־$\displaystyle {a}={1>0}$, כך שהפרבולה פתוחה כלפי מעלה:

• הפרבולה מעל ציר ה־$\displaystyle x$ משמאל ל־$\displaystyle -1$ ומימין ל־3: הפתרון הוא $\displaystyle x<-1$ או $\displaystyle x>3$.
• בין $\displaystyle -1$ ל־3 היא מתחת לציר: זה הפתרון של $\displaystyle x^2-2x-3<0$, כלומר $\displaystyle -1<x<3$.

הפתרון של $\displaystyle f(x)>g(x)$ הוא שיעורי ה־$\displaystyle x$ שבהם הגרף של $\displaystyle f$ מעל הגרף של $\displaystyle g$. בלוח – $\displaystyle {f(x)}={x^2}$, והישר $\displaystyle {g(x)}={x+2}$ (המקווקו):

• הגרפים נחתכים כש־$\displaystyle {x}={-1}$ וכש־$\displaystyle {x}={2}$: אלה הפתרונות של $\displaystyle {x^2}={x+2}$.
• משמאל ל־$\displaystyle -1$ ומימין ל־2 הפרבולה מעל הישר: הפתרון של $\displaystyle x^2>x+2$ הוא $\displaystyle x<-1$ או $\displaystyle x>2$.
• באלגברה מקבלים אותו פתרון: $\displaystyle x^2-x-2>0$, ושורשי הפרבולה $\displaystyle {y}={x^2-x-2}$ הם $\displaystyle -1$ ו־2.

פתרו את המשוואות.

בלי לפתור: כמה פתרונות יש לכל משוואה?
$\displaystyle {x^2+3x+5}={0}$
$\displaystyle {4x^2-4x+1}={0}$
$\displaystyle {3x^2-x-2}={0}$

פתרו את מערכות המשוואות.

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של $\displaystyle {f(x)}={x^2-3}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={2x}$.

פתרו את המערכת באלגברה, ובדקו שקיבלתם את אותן הנקודות.

למערכת בסעיף 4 אין פתרון.
מה זה אומר על הפרבולה $\displaystyle {y}={x^2+1}$ ועל הישר $\displaystyle {y}={x-1}$?

פתרו את אי־השוויונות.

$\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$
$\displaystyle {g(x)}={-x+4}$

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של הגרפים.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)\le g(x)$: לאילו ערכים של $\displaystyle x$ הגרף של $\displaystyle f$ אינו מעל הגרף של $\displaystyle g$?