משוואות עם שברים, עם שורש ובהצבה

במשוואה עם שברים קובעים קודם את תחום ההצבה: מכנה לא יכול להיות 0. אחר כך כופלים את שני האגפים במכנה המשותף, פותרים, ובודקים שכל פתרון נמצא בתחום ההצבה.

• תחום ההצבה: $\displaystyle x\neq3$.
• נכפול ב־$\displaystyle x-3$: $\displaystyle {x^2}={9}$, ולכן $\displaystyle {x}={3}$ או $\displaystyle {x}={-3}$.
• $\displaystyle {x}={3}$ אינו בתחום ההצבה – בו שני המכנים 0. הפתרון היחיד: $\displaystyle {x}={-3}$.

משוואה שהנעלם מופיע בה מתחת לשורש פותרים כך:

• מבודדים את השורש באגף אחד;
• מעלים את שני האגפים בריבוע, ופותרים את המשוואה שמתקבלת;
• מציבים כל פתרון במשוואה המקורית ובודקים.

הבדיקה הכרחית: העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון. השורש $\displaystyle \sqrt{\ }$ אף פעם אינו שלילי, ואילו אחרי ההעלאה בריבוע גם $\displaystyle {2}={-2}$ הופך ל־$\displaystyle {4}={4}$.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {\sqrt{x+5}}={x-1}$:

• נעלה בריבוע: $\displaystyle {x+5}={x^2-2x+1}$, כלומר $\displaystyle {x^2-3x-4}={0}$.
• נפרק: $\displaystyle {(x-4)(x+1)}={0}$, ולכן $\displaystyle {x}={4}$ או $\displaystyle {x}={-1}$.
• נבדוק את $\displaystyle {x}={4}$: $\displaystyle {\sqrt{9}}={3}$, וגם $\displaystyle {4-1}={3}$. זה פתרון.
• נבדוק את $\displaystyle {x}={-1}$: $\displaystyle {\sqrt{4}}={2}$, אבל $\displaystyle {-1-1}={-2}$. זה אינו פתרון.

הפתרון היחיד: $\displaystyle {x}={4}$.

כשיש במשוואה שני שורשים, משאירים שורש אחד בכל אגף ומעלים בריבוע; אם עדיין נשאר שורש – מבודדים אותו ומעלים בריבוע שוב.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {\sqrt{x+5}-\sqrt{x}}={1}$:

• נעביר את $\displaystyle \sqrt{x}$ לאגף השני: $\displaystyle {\sqrt{x+5}}={1+\sqrt{x}}$.
• נעלה בריבוע: $\displaystyle {x+5}={1+2\sqrt{x}+x}$, כלומר $\displaystyle {2\sqrt{x}}={4}$, ו־$\displaystyle {\sqrt{x}}={2}$.
• נעלה בריבוע שוב: $\displaystyle {x}={4}$.
• נבדוק: $\displaystyle {\sqrt{9}-\sqrt{4}}={3-2}={1}$. זה פתרון.

במשוואה דו־ריבועית $\displaystyle {ax^4+bx^2+c}={0}$ יש רק $\displaystyle x^4$, $\displaystyle x^2$ ומספר. מציבים $\displaystyle {t}={x^2}$, ומקבלים משוואה ריבועית ב־$\displaystyle t$.

• נציב $\displaystyle {t}={x^2}$: $\displaystyle {t^2-5t+4}={0}$, ולכן $\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={4}$.
• נחזור ל־$\displaystyle x$: $\displaystyle {x^2}={1}$ נותן $\displaystyle {x}={\pm1}$, ו־$\displaystyle {x^2}={4}$ נותן $\displaystyle {x}={\pm2}$.
• ארבעה פתרונות: $\displaystyle -2$, $\displaystyle -1$, 1, 2.

פתרון שלילי של $\displaystyle t$ אינו נותן אף $\displaystyle x$, כי $\displaystyle x^2$ אינו שלילי. אותה הצבה עובדת בכל משוואה שביטוי אחד חוזר בה, כמו $\displaystyle (x^2-2x)^2$ ו־$\displaystyle x^2-2x$.

הפתרונות של $\displaystyle {f(x)}={g(x)}$ הם שיעורי ה־$\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של שני הגרפים, ולכן מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך. בלוח – $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$, שהגרף שלו מתחיל ב־$\displaystyle (0,0)$ כי אין שורש למספר שלילי, והישר $\displaystyle {g(x)}={x-2}$ (המקווקו):

• הגרפים נחתכים בנקודה אחת, $\displaystyle (4,2)$: ל־$\displaystyle {\sqrt{x}}={x-2}$ יש פתרון אחד, $\displaystyle {x}={4}$.
• אחרי העלאה בריבוע מקבלים $\displaystyle {x^2-5x+4}={0}$, שיש לה גם הפתרון $\displaystyle {x}={1}$. בגרף רואים למה הוא נפסל: כש־$\displaystyle {x}={1}$ השורש הוא 1, והישר נמצא בגובה $\displaystyle -1$.

פתרו את המשוואות.

כתבו את תחום ההצבה של כל אחת מהמשוואות בסעיפים 1–3.

פתרו את המשוואות, ובדקו כל פתרון במשוואה המקורית.

הסבירו בלי לחשב למה אין פתרון למשוואה בסעיף 4.

פתרו את המשוואות עם שני השורשים.

פתרו בהצבה.

הציבו $\displaystyle {t}={x^2-2x}$.

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$
$\displaystyle {g(x)}={\frac{x+3}{4}}$

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של הגרפים.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={g(x)}$, ובדקו שמספר הפתרונות שווה למספר נקודות החיתוך.