בעיות ערך קיצון

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 19 מתוך 20לימוד

בעיות ערך קיצון

שלבי הפתרון של בעיית קיצון

בבעיית ערך קיצון מחפשים את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר של גודל – רווח, שטח, מרחק – וכותבים אותו כפונקציה של משתנה אחד.

המשתנה: בוחרים גודל אחד ומסמנים אותו ב־ $\displaystyle x$ .
הפונקציה: כותבים את הגודל שמחפשים בעזרת $\displaystyle x$ בלבד; כל גודל אחר מבטאים קודם בעזרת $\displaystyle x$ .
התחום: אילו ערכים $\displaystyle x$ יכול לקבל – אורך חיובי, נקודה על הגרף, מחיר לא שלילי.
הנגזרת: גוזרים ופותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ ; שומרים רק פתרונות שבתחום.
סוג הקיצון: בטבלת סימנים של $\displaystyle f'(x)$ . בתחום סגור משווים גם את הערכים בקצות התחום.
התשובה: עונים על מה שנשאל – לפעמים $\displaystyle x$ , לפעמים הערך הגדול ביותר עצמו.

בעיית מספרים

הסכום של שני מספרים חיוביים הוא 12.
מחפשים את המספרים שעבורם המכפלה של ריבוע הראשון בשני היא הגדולה ביותר.

בפתרון שלפניכם נסמן את הראשון ב־ $\displaystyle x$ , נבטא בעזרתו את השני, ונמצא את המקסימום של המכפלה.

המספר השני: $\displaystyle 12-x$ , והתחום: $\displaystyle 0<x<12$ .
המכפלה: $\displaystyle {f(x)}={x^2(12-x)}={12x^2-x^3}$ .
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={24x-3x^2}={3x(8-x)}$ , והיא 0 כש־ $\displaystyle {x}={0}$ (לא בתחום) או $\displaystyle {x}={8}$ .

	$\displaystyle 0<x<8$	$\displaystyle {x}={8}$	$\displaystyle 8<x<12$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−
$\displaystyle f(x)$	עולה	256	יורדת

המספרים: 8 ו־4, והמכפלה הגדולה ביותר: $\displaystyle {8^2\cdot4}={256}$ .

בעיה כלכלית: הרווח היומי

מפעל מייצר מוצר שעלות הייצור שלו 20 ₪ לפריט.
במחיר 40 ₪ לפריט המפעל מוכר 100 פריטים ביום.
על כל שקל של הורדה במחיר, המפעל מוכר ביום 10 פריטים נוספים.
$\displaystyle x$ – סכום ההורדה במחיר, בשקלים.

בפתרון שלפניכם נכתוב את הרווח היומי כפונקציה של $\displaystyle x$ ונמצא את המקסימום שלה.

המחיר: $\displaystyle 40-x$ , והרווח מכל פריט: $\displaystyle {(40-x)-20}={20-x}$ .
מספר הפריטים ביום: $\displaystyle 100+10x$ .
הרווח היומי: $\displaystyle {P(x)}={(20-x)(100+10x)}={2000+100x-10x^2}$ , בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq20$ (מעבר ל־20 כל פריט נמכר בהפסד).
$\displaystyle {P'(x)}={100-20x}$ , והיא 0 כש־ $\displaystyle {x}={5}$ ; משמאל ל־5 הנגזרת חיובית, ומימין לו שלילית – מקסימום.
בקצות התחום: $\displaystyle {P(0)}={2000}$ , $\displaystyle {P(20)}={0}$ – שניהם קטנים מ־ $\displaystyle P(5)$ .

P(5)=15\cdot150=2250

כדאי להוריד את המחיר ב־5 ₪, ל־35 ₪, והרווח היומי הגדול ביותר הוא 2,250 ₪.

משולש בין שני גרפים

בלוח – הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={-x^2+9}$ ושל $\displaystyle {g(x)}={(x-3)^2}$ .
הנקודה $\displaystyle A$ על הגרף של $\displaystyle f$ , ברביע הראשון, בין נקודות המפגש של הגרפים.
דרך $\displaystyle A$ עובר ישר מקביל לציר ה־ $\displaystyle y$ , והוא חותך את הגרף של $\displaystyle g$ בנקודה $\displaystyle B$ .
דרך $\displaystyle A$ עובר ישר מקביל לציר ה־ $\displaystyle x$ , והוא חותך את הגרף של $\displaystyle f$ בנקודה $\displaystyle C$ .
$\displaystyle t$ – שיעור ה־ $\displaystyle x$ של $\displaystyle A$ .

בפתרון שלפניכם נכתוב את שטח המשולש $\displaystyle ABC$ בעזרת $\displaystyle t$ , ונמצא את $\displaystyle t$ שעבורו השטח הגדול ביותר. בלוח – המצב כש־ $\displaystyle {t}={2}$ .

\displaystyle f(x)=-x^{2}+9

\displaystyle g(x)=(x-3)^{2}

\displaystyle A=(2,5)

\displaystyle B=(2,1)

\displaystyle C=(-2,5)

הגרפים נפגשים כש־ $\displaystyle {-x^2+9}={(x-3)^2}$ , כלומר $\displaystyle {2x^2-6x}={0}$ : ב־ $\displaystyle {x}={0}$ וב־ $\displaystyle {x}={3}$ . לכן $\displaystyle 0<t<3$ .
$\displaystyle {A}={(t,9-t^2)}$ , $\displaystyle {B}={(t,(t-3)^2)}$ , ו־ $\displaystyle {C}={(-t,9-t^2)}$ – הסימטרית ל־ $\displaystyle A$ ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ .
$\displaystyle {AB}={9-t^2-(t-3)^2}={6t-2t^2}$ , ו־ $\displaystyle {AC}={2t}$ ; הזווית $\displaystyle A$ ישרה.
השטח: $\displaystyle {S(t)}={\frac{1}{2}\cdot2t\cdot(6t-2t^2)}={6t^2-2t^3}$ .
$\displaystyle {S'(t)}={12t-6t^2}={6t(2-t)}$ , והיא 0 בתחום רק כש־ $\displaystyle {t}={2}$ : משמאל חיובית, מימין שלילית – מקסימום.
השטח הגדול ביותר: $\displaystyle {S(2)}={24-16}={8}$ .

מקבילית חסומה במלבן

במלבן $\displaystyle ABCD$ : $\displaystyle {AB}={18}$ ס"מ, $\displaystyle {BC}={10}$ ס"מ.
במלבן חסומה המקבילית $\displaystyle PQTE$ : $\displaystyle P$ על $\displaystyle AD$ , $\displaystyle Q$ על $\displaystyle AB$ , $\displaystyle T$ על $\displaystyle BC$ ו־ $\displaystyle E$ על $\displaystyle CD$ .
$\displaystyle {AP}={TC}$ , ו־ $\displaystyle {AQ}={EC}={3AP}$ .

בפתרון שלפניכם נסמן $\displaystyle {AP}={x}$ , נכתוב את שטח המקבילית בעזרת $\displaystyle x$ , ונמצא את $\displaystyle x$ שעבורו השטח הגדול ביותר.

$\displaystyle {AQ}={EC}={3x}$ ; כדי ש־ $\displaystyle Q$ יהיה על $\displaystyle AB$ צריך $\displaystyle 3x\leq18$ , ולכן $\displaystyle 0<x\leq6$ .
שטח המקבילית הוא שטח המלבן פחות ארבעה משולשים ישרי זווית. המשולשים בפינות $\displaystyle A$ ו־ $\displaystyle C$ חופפים, וגם המשולשים בפינות $\displaystyle B$ ו־ $\displaystyle D$ .
בפינה $\displaystyle A$ : הניצבים $\displaystyle x$ ו־ $\displaystyle 3x$ , השטח $\displaystyle \frac{3x^2}{2}$ . בפינה $\displaystyle B$ : הניצבים $\displaystyle 18-3x$ ו־ $\displaystyle 10-x$ .

S(x)=180-2\cdot\frac{3x^2}{2}-(18-3x)(10-x)=48x-6x^2

$\displaystyle {S'(x)}={48-12x}$ , והיא 0 כש־ $\displaystyle {x}={4}$ , בתוך התחום: משמאל חיובית, מימין שלילית – מקסימום.
$\displaystyle {AP}={4}$ ס"מ, והשטח הגדול ביותר: $\displaystyle {S(4)}={192-96}={96}$ סמ"ר.

תרגיל 1

הסכום של שני מספרים הוא 10.
$\displaystyle x$ – המספר הראשון.
מחפשים את המספרים שעבורם סכום הריבועים שלהם הוא הקטן ביותר.

גזרו את סכום הריבועים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה: הנגזרת שווה 0.

מהו סכום הריבועים הקטן ביותר?

תרגיל 2

כרטיס להצגה עולה 60 ₪, ולכל הצגה באים 400 צופים.
על כל שקל של העלאה במחיר, באים 4 צופים פחות.
$\displaystyle x$ – סכום ההעלאה במחיר, בשקלים.

כתבו את ההכנסה מהצגה אחת כפונקציה של $\displaystyle x$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

כתבו משוואה ופתרו אותה: באיזו העלאה ההכנסה הגדולה ביותר?

התיאטרון מחליט להעלות את המחיר ב־15 ₪ לכל היותר.
באיזה מחיר תהיה עכשיו ההכנסה הגדולה ביותר, ומהי?
נמקו בעזרת הנגזרת בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq15$ .

המחיר

ההכנסה

תרגיל 3

בלוח – הגרף של $\displaystyle {f(x)}={12-x^2}$ .
למלבן שני קודקודים על ציר ה־ $\displaystyle x$ ושני קודקודים על הגרף, ברביע הראשון וברביע השני.
$\displaystyle x$ – שיעור ה־ $\displaystyle x$ של הקודקוד שעל הגרף ברביע הראשון.

\displaystyle f(x)=12-x^{2}

הראו ששטח המלבן הוא $\displaystyle {S(x)}={24x-2x^3}$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

מצאו את $\displaystyle S'(x)$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ .

מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

תרגיל 4

הקודקוד $\displaystyle B$ של המלבן $\displaystyle ABCD$ על הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x-4}}$ .
הצלע $\displaystyle AD$ על הישר $\displaystyle {x}={10}$ , והצלע $\displaystyle DC$ על ציר ה־ $\displaystyle x$ .
הגרף של $\displaystyle f$ חותך את ציר ה־ $\displaystyle x$ בנקודה $\displaystyle F$ .
$\displaystyle x$ – שיעור ה־ $\displaystyle x$ של $\displaystyle B$ ; בלוח – המצב כש־ $\displaystyle {x}={4}$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{2x-4}

\displaystyle x=10

\displaystyle B=(4,2)

\displaystyle A=(10,2)

\displaystyle C=(4,0)

\displaystyle D=(10,0)

\displaystyle F=(2,0)

כתבו את שטח המלבן כפונקציה של $\displaystyle x$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

גזרו את השטח.

פתרו את המשוואה: הנגזרת שווה 0.
מהם שיעורי $\displaystyle B$ כששטח המלבן הגדול ביותר?

חשבו את שטח המשולש $\displaystyle BFC$ כששטח המלבן הגדול ביותר.

תרגיל 5

הנקודה $\displaystyle P$ על הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ .
מחפשים את הנקודה $\displaystyle P$ הקרובה ביותר לנקודה $\displaystyle (4,0)$ .
$\displaystyle x$ – שיעור ה־ $\displaystyle x$ של $\displaystyle P$ .

הראו שהמרחק בין $\displaystyle P$ ל־ $\displaystyle (4,0)$ הוא $\displaystyle {d(x)}={\sqrt{x^2-7x+16}}$ .

מצאו את $\displaystyle d'(x)$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {d'(x)}={0}$ .

מהם שיעורי $\displaystyle P$ , ומהו המרחק הקטן ביותר?

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$