תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 13 מתוך 20לימוד

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

הסימן של הנגזרת

הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק, ולכן הסימן שלה אומר לאן הגרף הולך שם:

$\displaystyle f'(x)>0$ – המשיק עולה, והפונקציה עולה.
$\displaystyle f'(x)<0$ – המשיק יורד, והפונקציה יורדת.
$\displaystyle {f'(x)}={0}$ – המשיק אופקי.

תחומי העלייה של הפונקציה הם הפתרונות של אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ , ותחומי הירידה – של $\displaystyle f'(x)<0$ .

נקודה חשודה כקיצון

בנקודת קיצון הפונקציה מפסיקה לעלות ומתחילה לרדת (מקסימום), או להפך (מינימום). שם המשיק אופקי, ולכן נקודות הקיצון נמצאות בין הפתרונות של $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

\displaystyle f'(x)

\displaystyle =

\displaystyle 0

פתרון של $\displaystyle {f'(x)}={0}$ הוא נקודה חשודה כקיצון.
טבלת סימנים מכריעה: בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני הצדדים של כל נקודה חשודה.
מ־+ ל־−: נקודת מקסימום. מ־− ל־+: נקודת מינימום.

דוגמה:

\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}

בדוגמה שלפניכם נמצא את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ .

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

הנגזרת מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={-1}$ וב־ $\displaystyle {x}={1}$ . נציב בנגזרת מספר אחד מכל תחום, ונקבל את הטבלה:

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle -1<x<1$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום	עולה

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

\displaystyle A=(-1,2)

\displaystyle B=(1,-2)

הפונקציה עולה כש־ $\displaystyle x<-1$ וכש־ $\displaystyle x>1$ , ויורדת כש־ $\displaystyle -1<x<1$ .
$\displaystyle {f(-1)}={2}$ : נקודת מקסימום $\displaystyle (-1,2)$ .
$\displaystyle {f(1)}={-2}$ : נקודת מינימום $\displaystyle (1,-2)$ .

נגזרת מתאפסת בלי קיצון

לא כל נקודה שבה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ היא נקודת קיצון. ב־ $\displaystyle {f(x)}={x^3}$ הנגזרת היא $\displaystyle {f'(x)}={3x^2}$ :

$\displaystyle {f'(0)}={0}$ : המשיק בראשית הצירים אופקי.
משני הצדדים של 0 הנגזרת חיובית, ולכן הפונקציה עולה לפני 0 וגם אחריו.
בראשית הצירים אין קיצון – הטבלה היא שמכריעה.

\displaystyle f(x)=x^{3}

קיצון מקומי, קיצון מוחלט וקיצון בקצה

נקודת קיצון היא מקומית כשהערך שלה הגדול ביותר (או הקטן ביותר) רק בסביבה הקרובה שלה. ערך מוחלט הוא הגדול ביותר (או הקטן ביותר) בכל תחום ההגדרה.

ל־ $\displaystyle x^3-3x$ המוגדרת לכל $\displaystyle x$ אין מקסימום מוחלט: כש־ $\displaystyle x$ גדל, גם $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף.
כשתחום ההגדרה סגור, למשל $\displaystyle 0\leq x\leq3$ , גם בקצה התחום יש קיצון בקצה.

בדוגמה שלפניכם נמצא את נקודות הקיצון של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq3$ :

$\displaystyle {f(0)}={0}$ : מ־0 עד 1 הפונקציה יורדת, ולכן $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מקסימום בקצה.
$\displaystyle {f(1)}={-2}$ : נקודת מינימום, והיא גם המינימום המוחלט.
$\displaystyle {f(3)}={18}$ : מ־1 עד 3 הפונקציה עולה, ולכן $\displaystyle (3,18)$ היא נקודת מקסימום בקצה, והיא גם המקסימום המוחלט.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2x^3-3x^2-12x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ : מהם תחומי העלייה של הפונקציה?

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון של הפונקציה.

\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x

כתבו את תחום הירידה של הפונקציה.
קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^3+3x^2}$ .

כתבו אי־שוויון ופתרו אותו: מהו תחום העלייה של הפונקציה?

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון של הפונקציה.

\displaystyle f(x)=-x^{3}+3x^{2}

קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון.
נמקו לפי תחום העלייה שמצאתם.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-2x^2}$ .

כתבו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ ופתרו אותה.

בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f'(x)$ .
כתבו את תחומי העלייה והירידה, ואת הסוג של כל נקודת קיצון.

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{4}-2x^{2}

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={8(2x-1)^3}$ מתרגיל 4 בשיעור הקודם.
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={48(2x-1)^2}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ .

ב־ $\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$ הנגזרת מתאפסת.
האם זו נקודת קיצון?
האם יש לפונקציה תחום ירידה?
נמקו.

תרגיל 5

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-12x}$ מוגדרת בתחום $\displaystyle -3\leq x\leq5$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערכי הפונקציה בקצות התחום ובנקודות שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=x^{3}-12x$

כתבו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום, כולל הקיצון בקצות.
מהו המקסימום המוחלט, ומהו המינימום המוחלט?

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$