חקירת פולינום

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 14 מתוך 20לימוד

חקירת פולינום

שלבי החקירה

חקירת פונקציה אוספת את כל מה שאפשר לדעת עליה, וממנו משרטטים סקיצה של הגרף. בפולינום השלבים הם:

תחום הגדרה – פולינום מוגדר לכל $\displaystyle x$ .
זוגיות – בודקים אם $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$ (זוגית) או $\displaystyle {f(-x)}={-f(x)}$ (אי־זוגית); רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי־זוגיות.
נקודות חיתוך עם הצירים – עם ציר ה־ $\displaystyle y$ : $\displaystyle {x}={0}$ ; עם ציר ה־ $\displaystyle x$ : פותרים $\displaystyle {f(x)}={0}$ .
נקודות קיצון – פותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , ובטבלת סימנים קובעים את הסוג.
תחומי עלייה וירידה – מאותה טבלה.
סקיצה – מסמנים את כל הנקודות, ומחברים אותן לפי העלייה והירידה.

דוגמה:

\displaystyle {f(x)}={x^3-4x^2+4x}

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-4x^2+4x}$ .

תחום הגדרה: כל $\displaystyle x$ .
זוגיות: $\displaystyle {f(1)}={1}$ ו־ $\displaystyle {f(-1)}={-9}$ . אין שוויון ואין ערכים נגדיים, ולכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית.
חיתוך עם הצירים: $\displaystyle {f(x)}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$ . מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={0}$ וב־ $\displaystyle {x}={2}$ : הנקודות $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (2,0)$ .
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-8x+4}={(3x-2)(x-2)}$ , מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={\frac{2}{3}}$ וב־ $\displaystyle {x}={2}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<\frac{2}{3}$	$\displaystyle \frac{2}{3}$	$\displaystyle \frac{2}{3}<x<2$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום	עולה

$\displaystyle {f\left(\frac{2}{3}\right)}={\frac{8}{27}-\frac{16}{9}+\frac{8}{3}}={\frac{32}{27}}$ : נקודת מקסימום $\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{32}{27}\right)$ .
$\displaystyle {f(2)}={0}$ : נקודת מינימום $\displaystyle (2,0)$ – זו גם נקודת חיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ , והגרף משיק לציר שם.

הסקיצה

הסקיצה מחברת את הנקודות שמצאנו: הגרף עולה עד המקסימום, יורד עד המינימום שעל ציר ה־ $\displaystyle x$ , ועולה שוב.

\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x

\displaystyle A=(0.667,1.185)

\displaystyle B=(2,0)

מספר הפתרונות של

\displaystyle {f(x)}={k}

הפתרונות של המשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ הם נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי $\displaystyle {y}={k}$ . מהסקיצה רואים כמה נקודות כאלה יש לכל $\displaystyle k$ :

$\displaystyle k>\frac{32}{27}$ – פתרון אחד: הישר עובר מעל המקסימום.
$\displaystyle {k}={\frac{32}{27}}$ – שני פתרונות: הישר משיק בנקודת המקסימום.
$\displaystyle 0<k<\frac{32}{27}$ – שלושה פתרונות.
$\displaystyle {k}={0}$ – שני פתרונות: $\displaystyle {x}={0}$ , ו־ $\displaystyle {x}={2}$ שבו הישר משיק במינימום.
$\displaystyle k<0$ – פתרון אחד.

הגרף של

\displaystyle |f(x)|

בגרף של $\displaystyle {g(x)}={|f(x)|}$ כל ערך שלילי של $\displaystyle f$ הופך לחיובי: החלק של הגרף שמתחת לציר ה־ $\displaystyle x$ משתקף מעליו, והשאר נשאר.

\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x

\displaystyle g(x)=|x^{3}-4x^{2}+4x|

ב־ $\displaystyle x<0$ הגרף של $\displaystyle f$ מתחת לציר, ולכן הגרף של $\displaystyle g$ הוא השיקוף שלו מעל הציר.
בראשית הצירים ל־ $\displaystyle g$ יש מינימום, $\displaystyle (0,0)$ : הגרף יורד אליה ועולה ממנה בפינה חדה, ולכן אין בה משיק.
המקסימום $\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{32}{27}\right)$ והמינימום $\displaystyle (2,0)$ של $\displaystyle f$ הם גם נקודות קיצון של $\displaystyle g$ .

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^4+2x^3-x^2}$ .

סמנו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־ $\displaystyle x$ .

\displaystyle f(x)=-x^{4}+2x^{3}-x^{2}

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=-x^{4}+2x^{3}-x^{2}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו את נקודות הקיצון של הפונקציה.

\displaystyle f(x)=-x^{4}+2x^{3}-x^{2}

בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f'(x)$ .
כתבו את תחומי העלייה והירידה, ואת הסוג ואת השיעורים של כל נקודת קיצון.

נתון הישר $\displaystyle {y}={k}$ .
לאילו ערכים של $\displaystyle k$ יש לגרף הפונקציה ולישר 4 נקודות חיתוך?
3 נקודות חיתוך?
2 נקודות חיתוך?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+2}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+2$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־ $\displaystyle y$ ואת נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+2

כתבו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ואת השיעורים והסוג של כל נקודת קיצון.

כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={0}$ ?
נמקו לפי נקודות הקיצון.

מגדירים פונקציה חדשה: $\displaystyle {g(x)}={f(x)+k}$ .
מצאו את $\displaystyle k$ שבעבורו הגרף של $\displaystyle g$ משיק לישר $\displaystyle {y}={3}$ בנקודת המקסימום שלו.
ומצאו את $\displaystyle k$ שבעבורו הוא משיק לישר הזה בנקודת המינימום שלו.
כתבו משוואה ב־ $\displaystyle k$ לכל מקרה, ופתרו אותה.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2-9x+5}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ .

כתבו את נקודות הקיצון של הפונקציה, עם השיעורים והסוג של כל אחת.

שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-8x^2}$ .

האם הפונקציה זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
נמקו בעזרת $\displaystyle f(-x)$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={0}$ : היכן הגרף חותך את ציר ה־ $\displaystyle x$ ?

כתבו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ ופתרו אותה.

סמנו את נקודות הקיצון של הפונקציה.

\displaystyle f(x)=x^{4}-8x^{2}

כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ כש־ $\displaystyle {k}={-16}$ ?
כש־ $\displaystyle {k}={-10}$ ?
כש־ $\displaystyle {k}={0}$ ?
כש־ $\displaystyle {k}={5}$ ?
כש־ $\displaystyle {k}={-20}$ ?

\displaystyle {k}={-16}

\displaystyle {k}={-10}

\displaystyle {k}={0}

\displaystyle {k}={5}

\displaystyle {k}={-20}

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$