חקירת פונקציית שורש

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 18 מתוך 20לימוד

חקירת פונקציית שורש

שלבי החקירה של פונקציית שורש

חוקרים פונקציית שורש באותם שלבים כמו פולינום, אבל תחום ההגדרה בא קודם, וכל השאר נבדק רק בתוכו.

תחום ההגדרה: מה שמתחת לשורש גדול מ־0 או שווה לו.
נקודות החיתוך עם הצירים: עם ציר ה־ $\displaystyle y$ – רק אם 0 בתחום; עם ציר ה־ $\displaystyle x$ – פותרים $\displaystyle {f(x)}={0}$ .
הנגזרת: מביאים אותה למכנה משותף, ופותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ לפי המונה. פתרון שאינו בתחום ההגדרה – אינו נקודת קיצון.
תחומי עלייה וירידה: הסימן של $\displaystyle f'(x)$ בכל תחום, בטבלה.
נקודות קיצון: בתוך התחום – לפי שינוי הסימן של $\displaystyle f'(x)$ ; בקצה של תחום ההגדרה – לפי הכיוון של הפונקציה ליד הקצה.
סקיצה: מתחילים בקצה התחום, עוברים דרך נקודות הקיצון ונקודות החיתוך.

חקירה של

\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-4x+3}}

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-4x+3}}$ .

תחום ההגדרה: $\displaystyle x^2-4x+3\geq0$ , כלומר $\displaystyle x\leq1$ או $\displaystyle x\geq3$ .
חיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle y$ : $\displaystyle {f(0)}={\sqrt{3}}$ , הנקודה $\displaystyle (0,\sqrt{3})$ .
חיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ : $\displaystyle {x^2-4x+3}={0}$ , הנקודות $\displaystyle (1,0)$ ו־ $\displaystyle (3,0)$ – שני הקצוות של תחום ההגדרה.
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+3}}}={\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={0}$ רק כש־ $\displaystyle {x}={2}$ , ו־2 אינו בתחום ההגדרה: אין נקודת קיצון בתוך התחום.

	$\displaystyle x<1$	$\displaystyle x>3$
$\displaystyle f'(x)$	−	+
$\displaystyle f(x)$	יורדת	עולה

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}

\displaystyle y=x-2

\displaystyle A=(1,0)

\displaystyle B=(3,0)

משמאל ל־1 הפונקציה יורדת עד $\displaystyle (1,0)$ , ומימין ל־3 היא עולה מ־ $\displaystyle (3,0)$ : שתי הנקודות הן נקודות מינימום בקצה של תחום ההגדרה.
ערכי הפונקציה לא שליליים, ולכן אלה גם נקודות המינימום המוחלט.
האם הישר $\displaystyle {y}={x-2}$ (המקווקו) חותך את הגרף? נעלה בריבוע את $\displaystyle {\sqrt{x^2-4x+3}}={x-2}$ ונקבל $\displaystyle {x^2-4x+3}={x^2-4x+4}$ , כלומר $\displaystyle {3}={4}$ . אין פתרון: מימין ל־3 הגרף מתקרב לישר, אבל לא פוגש אותו.

קיצון בקצה התחום ובתוכו

בדוגמה שלפניכם נחקור את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x-2\sqrt{x}}$ .

תחום ההגדרה: $\displaystyle x\geq0$ .
חיתוך עם הצירים: $\displaystyle {x}={2\sqrt{x}}$ ; נעלה בריבוע: $\displaystyle {x^2}={4x}$ , ולכן $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={4}$ – הנקודות $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (4,0)$ .
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{1}{\sqrt{x}}}$ , ו־ $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {\sqrt{x}}={1}$ , כלומר $\displaystyle {x}={1}$ .

	$\displaystyle 0<x<1$	$\displaystyle {x}={1}$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f'(x)$	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	יורדת	$\displaystyle -1$	עולה

\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}

\displaystyle A=(0,0)

\displaystyle B=(1,-1)

\displaystyle C=(4,0)

$\displaystyle (1,-1)$ היא נקודת מינימום, וגם המינימום המוחלט.
$\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מקסימום בקצה התחום: מימין לה הפונקציה יורדת, כלומר הערכים לידה קטנים מ־0.
זהו מקסימום מקומי בלבד: מ־ $\displaystyle {x}={1}$ הפונקציה עולה בלי גבול, ו־ $\displaystyle {f(9)}={3}$ כבר גדול מ־0.

סוג הקיצון בקצה התחום

בקצה של תחום ההגדרה סוג הקיצון נקבע לפי הכיוון של הפונקציה ליד הקצה:

קצה שמאלי והפונקציה עולה ממנו – מינימום; יורדת ממנו – מקסימום.
קצה ימני והפונקציה עולה אליו – מקסימום; יורדת אליו – מינימום.
קיצון בקצה הוא מקומי: כדי לדעת אם הוא מוחלט, משווים אותו לשאר נקודות הקיצון ולכיוון הגרף בהמשך.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{9-x^2}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה.

האם הפונקציה זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
נמקו.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך התחום.
מהן נקודות הקיצון בקצות התחום, ומה סוגן?

\displaystyle f(x)=\sqrt{9-x^{2}}

לאילו ערכים של $\displaystyle k$ יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ שני פתרונות?
לאילו ערכים יש לה פתרון אחד?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^2\sqrt{x+5}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

האם יש ערכים של $\displaystyle x$ שבהם $\displaystyle f(x)>0$ ?
נמקו.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , במכנה משותף.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון שבתוך התחום.
קבעו את סוג כל נקודת קיצון, גם בקצה התחום.

\displaystyle f(x)=-x^{2}\sqrt{x+5}

כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {-x^2\sqrt{x+5}}={-14}$ ?
נמקו לפי החקירה.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-3)\sqrt{x}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , במכנה משותף.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך התחום.

\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?
מהי נקודת הקיצון בקצה התחום, ומה סוגה?

תרגיל 4

נתונים הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x+5}}$ והישר $\displaystyle {y}={x+1}$ .

פתרו את המשוואה.

מהי נקודת החיתוך של הישר והגרף?
הסבירו למה לפתרון השני של המשוואה $\displaystyle {2x+5}={(x+1)^2}$ אין נקודת חיתוך.

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$