פונקציות חזקה ופונקציית השורש

כש־$\displaystyle n$ זוגי ($\displaystyle x^2$, $\displaystyle x^4$, $\displaystyle x^6$, …), הגרף של $\displaystyle {y}={x^n}$ דומה לפרבולה $\displaystyle {y}={x^2}$. בלוח – $\displaystyle {y}={x^2}$, ו־$\displaystyle {y}={x^4}$ (המקווקו):

• הגרף עובר דרך $\displaystyle (-1,1)$, $\displaystyle (0,0)$ ו־$\displaystyle (1,1)$.
• הפונקציה זוגית: $\displaystyle {(-x)^n}={x^n}$ כש־$\displaystyle n$ זוגי.
• יורדת כש־$\displaystyle x<0$, עולה כש־$\displaystyle x>0$; $\displaystyle (0,0)$ נקודת מינימום.
• אינה שלילית אף פעם: חיובית בכל $\displaystyle x\neq0$.
• ככל ש־$\displaystyle n$ גדול יותר, הגרף שטוח יותר בין $\displaystyle -1$ ל־1 ותלול יותר מחוץ להם.

כש־$\displaystyle n$ אי־זוגי ($\displaystyle x^3$, $\displaystyle x^5$, …), הגרף של $\displaystyle {y}={x^n}$ עולה כל הזמן. בלוח – $\displaystyle {y}={x^3}$, ו־$\displaystyle {y}={x^5}$ (המקווקו):

• הגרף עובר דרך $\displaystyle (-1,-1)$, $\displaystyle (0,0)$ ו־$\displaystyle (1,1)$.
• הפונקציה אי־זוגית: $\displaystyle {(-x)^n}={-x^n}$ כש־$\displaystyle n$ אי־זוגי.
• עולה בכל התחום, ולכן אין לה נקודת קיצון. ב־$\displaystyle (0,0)$ הגרף נעשה שטוח לרגע וממשיך לעלות.
• שלילית כש־$\displaystyle x<0$, חיובית כש־$\displaystyle x>0$.

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ מוגדרת רק כש־$\displaystyle x\geq0$, כי אין שורש למספר שלילי. כל ערך שלה הוא המספר האי־שלילי שהריבוע שלו $\displaystyle x$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle x\geq0$. הגרף מתחיל ב־$\displaystyle (0,0)$.
• הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה, ולאט יותר ככל ש־$\displaystyle x$ גדל: מ־0 עד 1 היא עולה ב־1, וגם מ־1 עד 4 – ב־1 בלבד.
• חיובית כש־$\displaystyle x>0$.
• לא זוגית ולא אי־זוגית: ב־$\displaystyle -x$ היא אינה מוגדרת בכלל.
• $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מינימום בקצה תחום ההגדרה: לפניה אין לגרף נקודות, ובכל שאר התחום הפונקציה גדולה יותר. קיצון יכול להיות גם בקצה של התחום, ולא רק במקום שבו הגרף מסתובב.

$\displaystyle {y}={\sqrt{f(x)}}$ מוגדרת כשהביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי: פותרים את אי־השוויון $\displaystyle f(x)\geq0$.

• $\displaystyle {y}={\sqrt{x+2}}$: $\displaystyle x+2\geq0$, כלומר $\displaystyle x\geq-2$.
• $\displaystyle {y}={\sqrt{4-x}}$: $\displaystyle 4-x\geq0$, כלומר $\displaystyle x\leq4$.

הפתרונות של $\displaystyle {x^n}={a}$ הם שיעורי ה־$\displaystyle x$ של נקודות החיתוך של $\displaystyle {y}={x^n}$ עם הישר $\displaystyle {y}={a}$. לכן מספר הפתרונות תלוי בצורת הגרף:

• $\displaystyle n$ זוגי: כש־$\displaystyle a>0$ שני פתרונות נגדיים, כש־$\displaystyle {a}={0}$ פתרון אחד, וכש־$\displaystyle a<0$ אין פתרון. $\displaystyle {x^4}={16}$ נותן $\displaystyle {x}={\pm2}$.
• $\displaystyle n$ אי־זוגי: פתרון אחד בכל $\displaystyle a$. $\displaystyle {x^3}={-8}$ נותן $\displaystyle {x}={-2}$, כי $\displaystyle {(-2)^3}={-8}$.

בלוח – ארבעה גרפים. הנוסחאות שלהם, לא לפי הסדר:
$\displaystyle {y}={x-1}$
$\displaystyle {y}={(x-1)^2}$
$\displaystyle {y}={(x-1)^3}$
$\displaystyle {y}={-(x-1)^4}$
כתבו בלוח לכל גרף את הנוסחה שלו. היעזרו בצורה של הגרף ובערך שלו כש־$\displaystyle {x}={0}$ וכש־$\displaystyle {x}={2}$.

$\displaystyle {f(x)}={x^6}$
$\displaystyle {g(x)}={x^7}$
לכל אחת מהפונקציות: האם היא זוגית או אי־זוגית?
איפה היא עולה ואיפה היא יורדת?
האם יש לה נקודת קיצון?

בלוח – הגרפים של $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$, $\displaystyle {y}={\sqrt{x+1}}$ ו־$\displaystyle {y}={\sqrt{x-1}}$, לא לפי הסדר.
כתבו בלוח לכל גרף את הנוסחה שלו. היעזרו בנקודה שבה כל גרף מתחיל.

מצאו את תחום ההגדרה של כל פונקציה.

$\displaystyle {y}={\sqrt{x-3}}$

$\displaystyle {y}={\sqrt{6-2x}}$

מהי נקודת הקיצון של $\displaystyle {y}={\sqrt{x-3}}$, ומה סוגה?

פתרו את המשוואות.