תרגול: הנגזרת וחקירת פולינום

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20תרגול

תרגול: הנגזרת וחקירת פולינום

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-3x}$ .
חשבו את קצב השינוי הממוצע של הפונקציה בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={4}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}-3x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$ .

פשטו את שיפוע המיתר בין הנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$ לנקודה שבה $\displaystyle {x}={2+h}$ .

$\displaystyle h$ מתקרב ל־0.
מהו $\displaystyle f'(2)$ ?

מצאו את הנגזרת.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-2x^2+5}$ .
חשבו את $\displaystyle f'(-1)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}+5$

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+1}$ .
על הגרף מסומנת הנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$ .
כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק לגרף בנקודה זו.

\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+1

\displaystyle (3,-2)

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ .
בנקודות מסוימות על הגרף שיפוע המשיק הוא 9.
כתבו משוואה ופתרו אותה, ומצאו את שיעורי הנקודות.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-12x+1}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+1$

כתבו אי־שוויון ופתרו אותו: באילו תחומים הפונקציה עולה?

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.
קבעו את סוג כל אחת מהן.

\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ ואת נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

כמה פתרונות יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={2}$ ?
נמקו לפי הגרף.

הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$ מוגדרת בתחום $\displaystyle -1\leq x\leq3$ .
מצאו את נקודת המקסימום המוחלט ואת נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום.

בגרף – הגרף של פונקציית הנגזרת $\displaystyle {y}={f'(x)}$ של פונקציה $\displaystyle f(x)$ .

\displaystyle y=x^{2}-4

באילו תחומים הפונקציה $\displaystyle f(x)$ עולה, ובאילו היא יורדת?

מהם שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של נקודות הקיצון של $\displaystyle f(x)$ ?
קבעו את סוג כל אחת מהן, ונמקו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.
לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $\displaystyle {x}={2}$ .
כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו $\displaystyle a$ ?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={ax^2+3x}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.
שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ הוא 7.

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו $\displaystyle a$ ?

כתבו את משוואת המשיק בנקודה זו.

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$