נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבת

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 11 מתוך 20לימוד

נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבת

נגזרת של מכפלה

הנגזרת של מכפלה איננה מכפלת הנגזרות. היא סכום של שני מחוברים: בכל אחד גוזרים גורם אחד, והגורם השני נשאר כמו שהוא.

\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'

\displaystyle =

\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

$\displaystyle f'(x)\cdot g(x)$ – גוזרים את הגורם הראשון, והשני נשאר.
$\displaystyle f(x)\cdot g'(x)$ – הראשון נשאר, וגוזרים את השני.

בדיקה בפתיחת סוגריים

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle (x^2+1)(x-3)$ בשתי דרכים, ונראה שמתקבלת אותה נגזרת.

בפתיחת סוגריים:

(x^2+1)(x-3)=x^3-3x^2+x-3

(x^3-3x^2+x-3)'=3x^2-6x+1

בכלל המכפלה, עם $\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x-3}$ :

2x\cdot(x-3)+(x^2+1)\cdot1=2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1

שתי הדרכים נותנות $\displaystyle 3x^2-6x+1$ .
מכפלת הנגזרות, $\displaystyle {2x\cdot1}={2x}$ , היא תשובה אחרת – ולכן שגויה.

פונקציה מורכבת

בפונקציה $\displaystyle (2x-1)^3$ יש שני שלבים: קודם מחשבים $\displaystyle 2x-1$ , ואחר כך מעלים את התוצאה בחזקת 3. פונקציה כזו נקראת פונקציה מורכבת.

הפונקציה הפנימית – מה שמחשבים קודם: $\displaystyle 2x-1$ .
הפונקציה החיצונית – מה שעושים לתוצאה: החזקה $\displaystyle u^3$ .
עוד דוגמאות: ב־ $\displaystyle (x^2+1)^4$ הפנימית היא $\displaystyle x^2+1$ , והחיצונית $\displaystyle u^4$ ; ב־ $\displaystyle 8(2x-1)^3$ החיצונית היא $\displaystyle 8u^3$ .

נגזרת של פונקציה מורכבת

גוזרים את הפונקציה החיצונית ומשאירים בתוכה את הפנימית כמו שהיא, ואת התוצאה כופלים בנגזרת של הפנימית.

\displaystyle (f(g(x)))'

\displaystyle =

\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)

הסיבה לכפל: הפנימית משתנה בקצב $\displaystyle g'$ ביחס ל־ $\displaystyle x$ , והחיצונית משתנה בקצב $\displaystyle f'$ ביחס לפנימית. כש־ $\displaystyle x$ משתנה מעט, השינוי עובר דרך שני הקצבים, ולכן הם מוכפלים.

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle (2x-1)^3$ :

\left((2x-1)^3\right)'=3(2x-1)^2\cdot2=6(2x-1)^2

$\displaystyle 3(2x-1)^2$ – הנגזרת של החיצונית $\displaystyle u^3$ , ובתוכה הפנימית כמו שהיא.
$\displaystyle \cdot2$ – הנגזרת של הפנימית $\displaystyle 2x-1$ .

דוגמה פתורה

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle (x^2+1)^4$ :

\left((x^2+1)^4\right)'=4(x^2+1)^3\cdot2x=8x(x^2+1)^3

הנגזרת של החיצונית: $\displaystyle 4(x^2+1)^3$ .
הנגזרת של הפנימית: $\displaystyle 2x$ .
לא פותחים את הסוגריים: בצורה המפורקת קל למצוא איפה הנגזרת מתאפסת.

תרגיל 1

גזרו בכלל המכפלה, וכתבו את הנגזרת בלי סוגריים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

גזרו את הפונקציות המורכבות.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x^2-4)^2}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-4)^{2}$

חשבו את $\displaystyle f'(1)$ .

$\displaystyle f(x)=(x^{2}-4)^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={8(2x-1)^3}$ , המוגדרת לכל $\displaystyle x$ .

סמנו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

\displaystyle f(x)=8(2x-1)^{3}

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=8(2x-1)^{3}$

חשבו את $\displaystyle f'\left(\frac{1}{2}\right)$ .

$\displaystyle f(x)=8(2x-1)^{3}$

מהו השיפוע של המשיק לגרף בנקודת החיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ ?
תארו את המשיק הזה.

תרגיל 5

בפונקציה $\displaystyle x(x-1)^3$ יש מכפלה, ואחד הגורמים שלה הוא פונקציה מורכבת.
גזרו אותה, וכתבו את הנגזרת כמכפלה של גורמים.

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$