תכונות של פונקציה, זוגיות ואי־זוגיות

חקירה של פונקציה היא תיאור של התכונות שלה – מה שאפשר לדעת על הגרף שלה גם בלי לשרטט אותו:

• תחום ההגדרה – ערכי ה־$\displaystyle x$ שאפשר להציב בפונקציה;
• נקודות החיתוך עם הצירים – עם ציר ה־$\displaystyle x$ כש־$\displaystyle {f(x)}={0}$, ועם ציר ה־$\displaystyle y$ כש־$\displaystyle {x}={0}$;
• תחום חיוביות – איפה $\displaystyle f(x)>0$, הגרף מעל ציר ה־$\displaystyle x$; תחום שליליות – איפה $\displaystyle f(x)<0$, הגרף מתחתיו;
• תחומי עלייה וירידה – איפה הגרף עולה משמאל לימין, ואיפה הוא יורד;
• נקודות קיצון – נקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה היא נקודת מקסימום, ונקודה שבה היא עוברת מירידה לעלייה היא נקודת מינימום.

הגרף של $\displaystyle {f(x)}={mx+b}$ הוא ישר. השיפוע $\displaystyle m$ קובע את כל העלייה והירידה:

• $\displaystyle m>0$ – הפונקציה עולה בכל התחום; $\displaystyle m<0$ – יורדת בכל התחום;
• לפונקציה קווית (שאינה קבועה) אין נקודת קיצון.

$\displaystyle {f(x)}={-2x+6}$, לדוגמה:

• תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$.
• החיתוך עם ציר ה־$\displaystyle y$: $\displaystyle (0,6)$; עם ציר ה־$\displaystyle x$: $\displaystyle {-2x+6}={0}$, כלומר $\displaystyle (3,0)$.
• $\displaystyle {m}={-2<0}$: הפונקציה יורדת בכל התחום, ולכן היא חיובית משמאל ל־3 ושלילית מימין לו.

הגרף של $\displaystyle {f(x)}={ax^2+bx+c}$ הוא פרבולה, ולה נקודת קיצון אחת – הקודקוד. שיעור ה־$\displaystyle x$ שלו:

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-3}$:

• תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$.
• החיתוך עם ציר ה־$\displaystyle x$: $\displaystyle {x^2-2x-3}={0}$ נותן $\displaystyle (-1,0)$ ו־$\displaystyle (3,0)$; עם ציר ה־$\displaystyle y$: $\displaystyle (0,-3)$.
• הקודקוד: $\displaystyle {x}={\frac{2}{2}}={1}$, $\displaystyle {f(1)}={-4}$. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ($\displaystyle {a}={1>0}$), ולכן $\displaystyle (1,-4)$ היא נקודת מינימום.
• הפונקציה יורדת כש־$\displaystyle x<1$ ועולה כש־$\displaystyle x>1$.
• חיובית כש־$\displaystyle x<-1$ או $\displaystyle x>3$; שלילית כש־$\displaystyle -1<x<3$.
• הפרבולה סימטרית לישר $\displaystyle {x}={1}$: לנקודות $\displaystyle (0,-3)$ ו־$\displaystyle (2,-3)$ אותו גובה, כי הן באותו מרחק מ־1.

פונקציה זוגית נותנת אותו ערך ב־$\displaystyle x$ וב־$\displaystyle -x$; פונקציה אי־זוגית נותנת ערכים נגדיים:

בלוח – $\displaystyle {f(x)}={x^4-3x^2}$, זוגית, ו־$\displaystyle {g(x)}={x^3-4x}$ (המקווקו), אי־זוגית:

• הגרף של פונקציה זוגית סימטרי לציר ה־$\displaystyle y$: הנקודה $\displaystyle (x,y)$ עליו, וגם $\displaystyle (-x,y)$.
• הגרף של פונקציה אי־זוגית סימטרי לראשית הצירים: הנקודה $\displaystyle (x,y)$ עליו, וגם $\displaystyle (-x,-y)$.
• פונקציה אי־זוגית שמוגדרת ב־0 עוברת דרך $\displaystyle (0,0)$, כי $\displaystyle {f(0)}={-f(0)}$.
• רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי־זוגיות.

כדי לבדוק אם פונקציה זוגית, מציבים $\displaystyle -x$ במקום $\displaystyle x$ ומשווים ל־$\displaystyle f(x)$ ול־$\displaystyle -f(x)$.

• $\displaystyle {f(x)}={x^4-3x^2}$: $\displaystyle {f(-x)}={(-x)^4-3(-x)^2}={x^4-3x^2}={f(x)}$. זוגית.
• $\displaystyle {g(x)}={x^3-4x}$: $\displaystyle {g(-x)}={(-x)^3-4(-x)}={-x^3+4x}={-g(x)}$. אי־זוגית.
• $\displaystyle {h(x)}={x^2+x}$: $\displaystyle {h(-x)}={x^2-x}$, שאינו $\displaystyle h(x)$ ואינו $\displaystyle -h(x)$. לא זוגית ולא אי־זוגית. דוגמה אחת מספיקה כדי להראות זאת: $\displaystyle {h(1)}={2}$, אבל $\displaystyle {h(-1)}={0}$.

חזקה זוגית של $\displaystyle -x$ שווה לחזקה של $\displaystyle x$, וחזקה אי־זוגית נגדית לה. לכן פולינום שיש בו רק חזקות זוגיות (ומספר) זוגי, ופולינום שיש בו רק חזקות אי־זוגיות אי־זוגי.

$\displaystyle {f(x)}={-x^2+4x+5}$

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים ואת נקודת הקיצון.

מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה.

מה סוג נקודת הקיצון?
כתבו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

$\displaystyle {f(x)}={-2x+6}$

מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה.

בלי לחשב: למה אין לפונקציה נקודת קיצון?

קבעו אם כל פונקציה זוגית, אי־זוגית או לא זו ולא זו. נמקו.
$\displaystyle {f(x)}={2x^4-x^2}$
$\displaystyle {g(x)}={x^3+x}$
$\displaystyle {h(x)}={x^2-2x}$
$\displaystyle {k(x)}={x^5-x^3+1}$

הטבלה שלפניכם שייכת לפונקציה אי־זוגית $\displaystyle f(x)$.
השלימו אותה.

הגרף של פונקציה זוגית עובר דרך הנקודות $\displaystyle (2,5)$ ו־$\displaystyle (-3,1)$.
אילו עוד שתי נקודות חייבות להיות על הגרף?
ואם הפונקציה אי־זוגית?

$\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$

סמנו בלוח את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־$\displaystyle x$ ואת נקודת הקיצון.

הראו באלגברה שהפונקציה זוגית.
איך הזוגיות נראית בנקודות שסימנתם?

מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה.