קצב שינוי והנגזרת בנקודה

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

קצב שינוי והנגזרת בנקודה

קצב שינוי אחיד

ממלאים בריכה קטנה בברז. בהתחלה יש בה 20 ליטר, ובכל דקה נכנסים אליה 5 ליטר.
$\displaystyle {V}={5t+20}$ – כמות המים בליטרים אחרי $\displaystyle t$ דקות.

$\displaystyle t$ (דקות)	0	1	2	3	4
$\displaystyle V$ (ליטר)	20	25	30	35	40

בכל דקה הכמות גדלה באותו מספר, 5 ליטר: קצב השינוי אחיד – 5 ליטר לדקה.
הגרף של פונקציה עם קצב שינוי אחיד הוא ישר, וקצב השינוי הוא השיפוע שלו.

קצב שינוי משתנה

מכונית יוצאת לדרך ומאיצה. $\displaystyle {s(t)}={t^2}$ – הדרך במטרים שהיא עוברת ב־ $\displaystyle t$ השניות הראשונות.

$\displaystyle t$ (שניות)	0	1	2	3	4
$\displaystyle s$ (מטר)	0	1	4	9	16

בשנייה הראשונה המכונית עוברת מטר אחד, בשנייה השנייה 3 מטרים, בשלישית 5, ברביעית 7.
בכל שנייה היא עוברת יותר: קצב השינוי משתנה – המהירות עולה.
הגרף הוא פרבולה, לא ישר: אין לו שיפוע אחד.

קצב השינוי הממוצע

קצב השינוי הממוצע בין שתי נקודות הוא השינוי ב־ $\displaystyle y$ חלקי השינוי ב־ $\displaystyle x$ :

\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

בדוגמה שלפניכם נחשב את המהירות הממוצעת של המכונית בין $\displaystyle {t}={1}$ ל־ $\displaystyle {t}={3}$ :

\frac{s(3)-s(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4

המכונית עברה 8 מטרים ב־2 שניות: בממוצע 4 מטרים בשנייה.
בגרף: הישר המקווקו עובר דרך $\displaystyle A(1,1)$ ו־ $\displaystyle B(3,9)$ . הקטע $\displaystyle AB$ הוא מיתר של הגרף.

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle y=4x-3

\displaystyle A=(1,1)

\displaystyle B=(3,9)

קצב השינוי הממוצע הוא השיפוע של המיתר: השיפוע של הישר המקווקו הוא 4.

הנקודה השנייה מתקרבת

המהירות הממוצעת לא אומרת מה הייתה המהירות בדיוק ברגע $\displaystyle {t}={1}$ . כדי לדעת, מקרבים את הנקודה השנייה לראשונה.
הנקודה השנייה: $\displaystyle {t}={1+h}$ , ו־ $\displaystyle h$ מספר קטן שאינו 0.

\frac{s(1+h)-s(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h

$\displaystyle h$	1	0.1	0.01	0.001
המהירות הממוצעת $\displaystyle 2+h$	3	2.1	2.01	2.001

מותר לחלק ב־ $\displaystyle h$ , כי $\displaystyle h\neq0$ .
כש־ $\displaystyle h$ מתקרב ל־0, המהירות הממוצעת מתקרבת ל־2.
לכן ברגע $\displaystyle {t}={1}$ המהירות של המכונית היא 2 מטרים בשנייה: זה קצב השינוי הרגעי.

הנגזרת בנקודה

קצב השינוי הרגעי של פונקציה בנקודה $\displaystyle x_0$ נקרא הנגזרת של $\displaystyle f$ בנקודה $\displaystyle x_0$ , ומסמנים אותו $\displaystyle f'(x_0)$ :

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

$\displaystyle \lim\limits_{h\to0}$ קוראים “הגבול כש־ $\displaystyle h$ שואף ל־0”: המספר שהביטוי מתקרב אליו כש־ $\displaystyle h$ מתקרב ל־0.
בגרף: $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ , הישר של המיתר מ־ $\displaystyle A(1,1)$ ל־ $\displaystyle (2,4)$ (המקווקו, שיפוע 3), וישר מלא שהמיתרים מתקרבים אליו.

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle y=3x-2

\displaystyle y=2x-1

\displaystyle A=(1,1)

כש־ $\displaystyle h$ קטן, הנקודה השנייה מתקרבת ל־ $\displaystyle A$ , והמיתר מסתובב סביב $\displaystyle A$ .
הישר שהמיתרים מתקרבים אליו הוא המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle A$ : הוא נוגע בגרף ב־ $\displaystyle A$ .
הנגזרת בנקודה היא השיפוע של המשיק: כאן $\displaystyle {f'(1)}={2}$ , והמשיק הוא $\displaystyle {y}={2x-1}$ .

הנגזרת של

\displaystyle x^2

בנקודה

\displaystyle {x_0}={3}

$\displaystyle {f(x)}={x^2}$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את $\displaystyle f'(3)$ לפי ההגדרה.

\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h

כש־ $\displaystyle h$ מתקרב ל־0, $\displaystyle 6+h$ מתקרב ל־6.
לכן $\displaystyle {f'(3)}={6}$ : שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (3,9)$ הוא 6.

תרגיל 1

$\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$ .

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={4}$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={2}$ .

שני המיתרים יוצאים מאותה נקודה, $\displaystyle (1,2)$ .
איזה מהם תלול יותר? מה זה אומר על הגרף של $\displaystyle f$ מימין ל־ $\displaystyle {x}={1}$ ?

תרגיל 2

$\displaystyle {f(x)}={x^2}$ .

פשטו את קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle {x}={2}$ ל־ $\displaystyle {x}={2+h}$ .

למה מתקרב הביטוי שקיבלתם כש־ $\displaystyle h$ מתקרב ל־0?
כתבו את $\displaystyle f'(2)$ כמספר.

$\displaystyle f(x)=x^{2}$

תרגיל 3

$\displaystyle {f(x)}={x^3}$ .
רמז: $\displaystyle {(1+h)^3}={(1+h)^2(1+h)}$ .

פשטו את קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={1+h}$ .

כתבו את $\displaystyle f'(1)$ כמספר.

$\displaystyle f(x)=x^{3}$

תרגיל 4

$\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$ .
$\displaystyle {f(1)}={-3}$ .

פשטו את קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={1+h}$ .

כתבו את $\displaystyle f'(1)$ כמספר.

$\displaystyle f(x)=x^{2}-4x$

הנגזרת שקיבלתם שלילית.
מה זה אומר על המשיק בנקודה $\displaystyle (1,-3)$ , ועל הגרף של $\displaystyle f$ סביב הנקודה?

תרגיל 5

זורקים כדור למעלה.
$\displaystyle {s(t)}={20t-5t^2}$ – הגובה של הכדור במטרים אחרי $\displaystyle t$ שניות.

חשבו את המהירות הממוצעת של הכדור בשתי השניות הראשונות.

$\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}$

פשטו את המהירות הממוצעת בין $\displaystyle {t}={1}$ ל־ $\displaystyle {t}={1+h}$ .

$\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}$

מהי המהירות של הכדור בדיוק ברגע $\displaystyle {t}={1}$ ?

$\displaystyle s(t)=20t-5t^{2}$

ברגע $\displaystyle {t}={1}$ הכדור עולה או יורד?
איך רואים את זה מהסימן של $\displaystyle s'(1)$ ?

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$