חזרה: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 20 מתוך 20תרגול

חזרה: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי

פתרו את המשוואה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$ .

מהי נקודת הקיצון של $\displaystyle f(x)$ , ומה סוגה?
מהי נקודת הקיצון של $\displaystyle {h(x)}={f(x-2)}$ ?

בלוח מסומן גם הגרף של $\displaystyle {k(x)}={-f(x)+3}$ .
כתבו בלוח הגרפים את $\displaystyle k(x)$ כפולינום.

\displaystyle f(x)=x^{2}-4x

\displaystyle k(x)=\,?

מהי נקודת הקיצון של $\displaystyle k(x)$ , ומה סוגה?
נמקו בלי לגזור.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={8(2x-1)^3}$ .

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, אם יש כאלה.
האם יש לפונקציה נקודות קיצון?
נמקו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-4x^2+4x}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $\displaystyle x$ .
מהן נקודות הקיצון של הפונקציה, ומה סוגן?

\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x

נתונה הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={|f(x)|}$ .
מהן נקודות הקיצון של $\displaystyle g(x)$ , ומה סוגן?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{3-x}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , במכנה משותף.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך התחום.
על הגרף מסומנת הנקודה שבה $\displaystyle {x}={-1}$ : כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק בה.

\displaystyle f(x)=x\sqrt{3-x}

\displaystyle (-1,-2)

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?
מה סוג נקודת הקיצון שבתוך התחום, ומהי נקודת הקיצון בקצה התחום?

בלוח – הגרף של פונקציית הנגזרת $\displaystyle {y}={f'(x)}$ של פונקציה $\displaystyle f(x)$ .
הנגזרת שווה 0 רק כש־ $\displaystyle {x}={-2}$ וכש־ $\displaystyle {x}={1}$ .

\displaystyle y=(x+2)(x-1)^{2}

באילו תחומים $\displaystyle f(x)$ עולה, ובאילו היא יורדת?

בנקודות שבהן $\displaystyle {x}={-2}$ ו־ $\displaystyle {x}={1}$ המשיק לגרף של $\displaystyle f(x)$ מקביל לציר ה־ $\displaystyle x$ .
איזו מהן נקודת קיצון, ומה סוגה?
נמקו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2+b}$ , ו־ $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ פרמטרים.
הנקודה $\displaystyle (2,-1)$ היא נקודת קיצון של הפונקציה.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}+ax^{2}+b$

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו $\displaystyle a$ ?

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו $\displaystyle b$ ?

מה סוג נקודת הקיצון $\displaystyle (2,-1)$ ?
נמקו.

בלוח – הגרף של $\displaystyle {f(x)}={-x^2+6x}$ .
למלבן שני קודקודים על ציר ה־ $\displaystyle x$ ושני קודקודים על הגרף, והוא סימטרי לישר $\displaystyle {x}={3}$ .
$\displaystyle x$ – המרחק מהישר $\displaystyle {x}={3}$ לכל צלע אנכית של המלבן.

\displaystyle f(x)=-x^{2}+6x

הראו ששטח המלבן הוא $\displaystyle {S(x)}={18x-2x^3}$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

מצאו את $\displaystyle S'(x)$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ .

מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$