הנגזרת של פונקציית שורש

הפונקציה $\displaystyle {y}={\sqrt{f(x)}}$ מוגדרת רק במקומות שבהם $\displaystyle f(x)\geq0$, כי אין שורש ריבועי למספר שלילי.

• $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{12-3x}}$: פותרים $\displaystyle 12-3x\geq0$, ומקבלים $\displaystyle x\leq4$.
• $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-4x+3}}$: השורשים של $\displaystyle {x^2-4x+3}={0}$ הם 1 ו־3, והפרבולה צוחקת – היא מעל ציר ה־$\displaystyle x$ משני צדי השורשים. תחום ההגדרה: $\displaystyle x\leq1$ או $\displaystyle x\geq3$.
• בקצה של תחום ההגדרה הערך של הפונקציה הוא 0: $\displaystyle {\sqrt{0}}={0}$.

הנגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$ היא $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

בחישוב שלפניכם נמצא אותה משיפוע המיתר בין $\displaystyle x$ ל־$\displaystyle x+h$. נכפול את המונה ואת המכנה ב־$\displaystyle \sqrt{x+h}+\sqrt{x}$, וכך המונה הופך להפרש ריבועים:

• כש־$\displaystyle h$ מתקרב ל־0, $\displaystyle \sqrt{x+h}$ מתקרב ל־$\displaystyle \sqrt{x}$, והשיפוע מתקרב ל־$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• ב־$\displaystyle {x}={0}$ אין לפונקציה נגזרת: המשיק בנקודה $\displaystyle (0,0)$ הוא ציר ה־$\displaystyle y$, ישר מאונך לציר ה־$\displaystyle x$ שאין לו שיפוע.

$\displaystyle \sqrt{f(x)}$ היא פונקציה מורכבת: הפונקציה החיצונית היא השורש, והפנימית היא $\displaystyle f(x)$. לכן גוזרים את השורש וכופלים בנגזרת של הפנימית:

בדוגמאות שלפניכם נגזור שתי פונקציות כאלה:

בסכום גוזרים כל מחובר לחוד, ובמכפלה משתמשים בכלל של נגזרת המכפלה.

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle x\sqrt{x+5}$ כמכפלה, ונביא את התוצאה למכנה משותף:

• את $\displaystyle \sqrt{x+5}$ כופלים ב־$\displaystyle 2\sqrt{x+5}$ כדי להביא אותו למכנה, ומקבלים $\displaystyle 2(x+5)$.
• מכנה משותף עוזר בהמשך: את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ פותרים לפי המונה בלבד.

משוואת המשיק לגרף של פונקציית שורש נמצאת בדיוק כמו בפולינום: הנקודה, השיפוע $\displaystyle {m}={f'(x_1)}$, ואז $\displaystyle {y-y_1}={m(x-x_1)}$.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{12-3x}}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={-f(x)}$.
בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיק לכל גרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$, ואת נקודת המפגש של המשיקים.

• $\displaystyle {f(1)}={\sqrt{9}}={3}$, והשיפוע $\displaystyle {f'(1)}={\frac{-3}{2\cdot3}}={-\frac{1}{2}}$.
• המשיק לגרף של $\displaystyle f$: $\displaystyle {y-3}={-\frac{1}{2}(x-1)}$, כלומר $\displaystyle {y}={-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}}$.
• הגרף של $\displaystyle g$ הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle f$ ביחס לציר ה־$\displaystyle x$, ולכן גם המשיק משתקף: $\displaystyle {g(1)}={-3}$, $\displaystyle {g'(1)}={\frac{1}{2}}$, והמשיק $\displaystyle {y}={\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}}$.

• המשיקים נפגשים כש־$\displaystyle {-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}}={\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}}$, כלומר $\displaystyle {x}={7}$.
• נקודת המפגש $\displaystyle (7,0)$ נמצאת על ציר ה־$\displaystyle x$, ציר הסימטריה של שני הגרפים.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x-6}}$

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{16-x^2}}$

מצאו את הנגזרת.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x+1}}$.
חשבו את $\displaystyle f'(4)$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x+3}}$.
על הגרף מסומנת הנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$.
כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק לגרף בנקודה זו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x-1}}$.
בנקודה מסוימת על הגרף שיפוע המשיק הוא $\displaystyle \frac{1}{3}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו שיעור ה־$\displaystyle x$ של הנקודה?

מהם שיעורי הנקודה?

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{8-2x}}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={-f(x)}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

כתבו בלוח הגרפים את המשיק לגרף של $\displaystyle f$ ואת המשיק לגרף של $\displaystyle g$, כל אחד בנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$.

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו שיעור ה־$\displaystyle x$ של נקודת המפגש של המשיקים?

חשבו את השטח של המשולש שיוצרים שני המשיקים והישר $\displaystyle {x}={2}$.