דלג לתוכן

הזזות ושיקופים של גרף

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 6 מתוך 20לימוד

הזזות ושיקופים של גרף

הזזה אנכית

כשמוסיפים מספר לפונקציה, כל ערך שלה גדל באותו מספר, והגרף כולו זז למעלה או למטה:

y=f(x)+k\displaystyle y=f(x)+k
  • k>0\displaystyle k>0 – הגרף זז k\displaystyle k יחידות למעלה.
  • k<0\displaystyle k<0 – הגרף זז ∣k∣\displaystyle |k| יחידות למטה.

בגרפים: f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2}, ושתי הזזות שלו (המקווקווים).

f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}
g(x)=x2+3\displaystyle g(x)=x^{2}+3
h(x)=x2−2\displaystyle h(x)=x^{2}-2
  • g(x)=x2+3\displaystyle {g(x)}={x^2+3} – אותה פרבולה, 3 יחידות למעלה: הקודקוד עבר מ־(0,0)\displaystyle (0,0) ל־(0,3)\displaystyle (0,3).
  • h(x)=x2−2\displaystyle {h(x)}={x^2-2} – 2 יחידות למטה: הקודקוד ב־(0,−2)\displaystyle (0,-2).
  • הצורה של הגרף לא משתנה, ותחום ההגדרה לא משתנה.
הזזה אופקית

כשמחליפים את x\displaystyle x ב־x−p\displaystyle x-p, הגרף זז ימינה או שמאלה:

y=f(x−p)\displaystyle y=f(x-p)
  • p>0\displaystyle p>0 – הגרף זז p\displaystyle p יחידות ימינה.
  • p<0\displaystyle p<0 – הגרף זז ∣p∣\displaystyle |p| יחידות שמאלה: f(x+3)\displaystyle f(x+3) הוא הזזה של 3 יחידות שמאלה.

בגרפים: f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}, ו־g(x)=x−2\displaystyle {g(x)}={\sqrt{x-2}} (המקווקו).

f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
g(x)=x−2\displaystyle g(x)=\sqrt{x-2}
(4,2)\displaystyle (4,2)
(6,2)\displaystyle (6,2)

ההזזה היא לכיוון ההפוך מהסימן, וזו הסיבה:

  • g\displaystyle g מקבלת ב־x=6\displaystyle {x}={6} את הערך ש־f\displaystyle f מקבלת ב־x=4\displaystyle {x}={4}: g(6)=6−2=4=2=f(4)\displaystyle {g(6)}={\sqrt{6-2}}={\sqrt{4}}={2}={f(4)}.
  • כלומר, כל ערך של f\displaystyle f מגיע ל־g\displaystyle g שתי יחידות מאוחר יותר – ימינה.
  • גם תחום ההגדרה זז: x\displaystyle \sqrt{x} מוגדרת ל־x≥0\displaystyle x\geq0, ו־x−2\displaystyle \sqrt{x-2} ל־x≥2\displaystyle x\geq2.
שיקוף ביחס לצירים

מינוס לפני הפונקציה הופך כל ערך לנגדי שלו; מינוס לפני x\displaystyle x מחליף כל x\displaystyle x בנגדי שלו:

y=−f(x)\displaystyle y=-f(x)
y=f(−x)\displaystyle y=f(-x)

בגרפים: f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}, ושני השיקופים שלו (המקווקווים).

f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
g(x)=−x\displaystyle g(x)=-\sqrt{x}
h(x)=−x\displaystyle h(x)=\sqrt{-x}
  • g(x)=−x\displaystyle {g(x)}={-\sqrt{x}} – שיקוף ביחס לציר ה־x\displaystyle x: מה שהיה מעל הציר נמצא מתחתיו.
  • h(x)=−x\displaystyle {h(x)}={\sqrt{-x}} – שיקוף ביחס לציר ה־y\displaystyle y: מה שהיה מימין לציר נמצא משמאלו. −x\displaystyle \sqrt{-x} מוגדרת ל־x≤0\displaystyle x\leq0.
לאן זזה נקודה

כל טרנספורמציה מזיזה כל נקודה של הגרף באותו אופן. נקודה (a,b)\displaystyle (a,b) על הגרף של y=f(x)\displaystyle {y}={f(x)} עוברת:

הפונקציה החדשההנקודה החדשהמה קרה
y=f(x)+k\displaystyle {y}={f(x)+k}(a, b+k)\displaystyle (a,\ b+k)רק y\displaystyle y משתנה
y=f(x−p)\displaystyle {y}={f(x-p)}(a+p, b)\displaystyle (a+p,\ b)רק x\displaystyle x משתנה
y=−f(x)\displaystyle {y}={-f(x)}(a, −b)\displaystyle (a,\ -b)y\displaystyle y מחליף סימן
y=f(−x)\displaystyle {y}={f(-x)}(−a, b)\displaystyle (-a,\ b)x\displaystyle x מחליף סימן
  • נקודה על ציר ה־x\displaystyle x נשארת במקומה בשיקוף ביחס לציר ה־x\displaystyle x.
  • נקודה על ציר ה־y\displaystyle y נשארת במקומה בשיקוף ביחס לציר ה־y\displaystyle y.
שתי הזזות יחד

g(x)=x+1−2\displaystyle {g(x)}={\sqrt{x+1}-2}.
איך מקבלים את הגרף של g\displaystyle g מהגרף של f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}?

בדוגמה שלפניכם נקרא את שתי ההזזות מהנוסחה, ונמצא את נקודת ההתחלה של הגרף.

f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
g(x)=x+1−2\displaystyle g(x)=\sqrt{x+1}-2
(−1,−2)\displaystyle (-1,-2)
  • x+1\displaystyle \sqrt{x+1} – הזזה של יחידה אחת שמאלה (כאן p=−1\displaystyle {p}={-1}).
  • −2\displaystyle -2 – הזזה של 2 יחידות למטה.
  • הגרף של x\displaystyle \sqrt{x} מתחיל ב־(0,0)\displaystyle (0,0); אחרי שתי ההזזות הוא מתחיל ב־(0−1, 0−2)=(−1,−2)\displaystyle {(0-1,\ 0-2)}={(-1,-2)}.
  • תחום ההגדרה של g\displaystyle g: x+1≥0\displaystyle x+1\geq0, כלומר x≥−1\displaystyle x\geq-1.
תרגיל 1

בלוח הגרפים: f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}, ושלושה גרפים שהנוסחאות שלהם נסתרות.
כל אחד מהם הוא הזזה של f\displaystyle f: הנוסחאות הן x−1\displaystyle \sqrt{x-1}, x+1\displaystyle \sqrt{x+1} ו־x−1\displaystyle \sqrt{x}-1.
כתבו את הנוסחה של כל גרף בשורה משלו.

f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
g(x)= ?\displaystyle g(x)=\,?
h(x)= ?\displaystyle h(x)=\,?
k(x)= ?\displaystyle k(x)=\,?

תרגיל 2

f(x)=x3\displaystyle {f(x)}={x^3}.
הגרף של g\displaystyle g הוא הגרף של f\displaystyle f, מוזז 2 יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה.

א

כתבו בלוח הגרפים את הנוסחה של g\displaystyle g.

f(x)=x3\displaystyle f(x)=x^{3}

ב

הנקודה (1,1)\displaystyle (1,1) נמצאת על הגרף של f\displaystyle f.
לאיזו נקודה על הגרף של g\displaystyle g היא עוברת?

תרגיל 3

בגרף – הפונקציה f\displaystyle f; הגרף שלה בנוי מקטעים ישרים.
הנקודות A(−2,−1)\displaystyle A(-2,-1) ו־B(1,1)\displaystyle B(1,1) על הגרף.

f(x)\displaystyle f(x)
A=(−2,−1)\displaystyle A=(-2,-1)
B=(1,1)\displaystyle B=(1,1)
א

g(x)=f(x)−4\displaystyle {g(x)}={f(x)-4}.
לאילו נקודות עוברות A\displaystyle A ו־B\displaystyle B על הגרף של g\displaystyle g?

ב

h(x)=f(x+3)\displaystyle {h(x)}={f(x+3)}.
לאילו נקודות עוברות A\displaystyle A ו־B\displaystyle B על הגרף של h\displaystyle h?

ג

k(x)=−f(x)\displaystyle {k(x)}={-f(x)}.
לאילו נקודות עוברות A\displaystyle A ו־B\displaystyle B על הגרף של k\displaystyle k?
איזו נקודה של הגרף של f\displaystyle f נשארת במקומה?

תרגיל 4

f(x)=x2−4x\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}.
בלוח הגרפים: f\displaystyle f, השיקוף שלו ביחס לציר ה־x\displaystyle x והשיקוף שלו ביחס לציר ה־y\displaystyle y.
כתבו את הנוסחה של כל שיקוף בשורה משלו.

f(x)=x2−4x\displaystyle f(x)=x^{2}-4x
g(x)= ?\displaystyle g(x)=\,?
h(x)= ?\displaystyle h(x)=\,?

תרגיל 5

מזיזים את הגרף של f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2} ימינה ולמטה, עד שהקודקוד שלו מגיע ל־V(3,−2)\displaystyle V(3,-2).
כתבו בלוח הגרפים את הנוסחה של הפרבולה החדשה.

f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}
V=(3,−2)\displaystyle V=(3,-2)

מהו תחום הירידה של הפרבולה החדשה, ומהו תחום העלייה שלה?