מתיחה, כיווץ וערך מוחלט

כשכופלים פונקציה במספר, כל ערך שלה נכפל באותו מספר, והגרף נמתח או מתכווץ לאורך ציר ה־$\displaystyle y$:

• $\displaystyle |a|>1$ – מתיחה: הגרף מתרחק מציר ה־$\displaystyle x$.
• $\displaystyle |a|<1$ – כיווץ: הגרף מתקרב לציר ה־$\displaystyle x$.
• $\displaystyle a<0$ – גם שיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle x$.

בגרפים: $\displaystyle {f(x)}={x^2}$, $\displaystyle {g(x)}={2x^2}$ ו־$\displaystyle {h(x)}={\frac{1}{2}x^2}$ (המקווקווים).

• הנקודה $\displaystyle (1,1)$ של $\displaystyle f$ עוברת ל־$\displaystyle (1,2)$ על $\displaystyle g$: ה־$\displaystyle x$ נשאר, ה־$\displaystyle y$ כפול 2.
• כל נקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ של $\displaystyle f$ עוברת ל־$\displaystyle (x_0,\ a\cdot y_0)$.
• נקודות החיתוך עם ציר ה־$\displaystyle x$ לא זזות: $\displaystyle 0$ כפול כל מספר הוא $\displaystyle 0$.

הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מ־0 על ישר המספרים: $\displaystyle {|5|}={5}$, $\displaystyle {|-5|}={5}$, $\displaystyle {|0|}={0}$.

בגרף: $\displaystyle {y}={|x|}$.

• מימין ל־0 הגרף הוא $\displaystyle {y}={x}$; משמאל ל־0 הוא $\displaystyle {y}={-x}$.
• הערך המוחלט אף פעם אינו שלילי, ולכן הגרף כולו מעל ציר ה־$\displaystyle x$ או עליו.

בגרף של $\displaystyle {y}={|f(x)|}$, כל מה שמעל ציר ה־$\displaystyle x$ נשאר, וכל מה שמתחתיו משתקף אל מעליו.

בגרפים: $\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$ (המקווקו) ו־$\displaystyle {g(x)}={|x^2-4|}$.

• בין $\displaystyle {x}={-2}$ ל־$\displaystyle {x}={2}$ הערכים של $\displaystyle f$ שליליים, ושם הגרף של $\displaystyle g$ הוא השיקוף שלהם: $\displaystyle {g(x)}={-f(x)}$.
• נקודת המינימום של $\displaystyle f$, $\displaystyle (0,-4)$, עוברת ל־$\displaystyle (0,4)$: נקודת מקסימום של $\displaystyle g$.
• בנקודות $\displaystyle (-2,0)$ ו־$\displaystyle (2,0)$ הערך של $\displaystyle g$ הוא 0, הקטן ביותר שיש לה: אלה נקודות המינימום של $\displaystyle g$.

$\displaystyle {g(x)}={2(x-1)^2-3}$.
בדוגמה שלפניכם נקבל את הגרף של $\displaystyle g$ מהגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ בשלושה שלבים.

• מתיחה פי 2: $\displaystyle {y}={2x^2}$.
• הזזה של יחידה אחת ימינה: $\displaystyle {y}={2(x-1)^2}$.
• הזזה של 3 יחידות למטה: $\displaystyle {y}={2(x-1)^2-3}$.

• הקודקוד $\displaystyle (0,0)$ לא זז במתיחה, ועובר בשתי ההזזות ל־$\displaystyle (1,-3)$.
• הסדר חשוב: אם מזיזים קודם 3 למטה ורק אחר כך מותחים, מקבלים $\displaystyle {2(x^2-3)}={2x^2-6}$ – פונקציה אחרת.

בלוח הגרפים: $\displaystyle {f(x)}={x^2}$, ושני גרפים שהנוסחאות שלהם נסתרות.
כל אחד מהם הוא $\displaystyle a\cdot f(x)$, ל־$\displaystyle a$ אחר.
כתבו את הנוסחה של כל גרף בשורה משלו.

$\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-3}$.
$\displaystyle {g(x)}={|x^2-2x-3|}$.
נקודת המינימום של $\displaystyle f$ היא $\displaystyle (1,-4)$.

סמנו את נקודות החיתוך של הגרף של $\displaystyle g$ עם ציר ה־$\displaystyle x$.

מהן נקודות המינימום של $\displaystyle g$?
מהי נקודת המקסימום של $\displaystyle g$ בין נקודות החיתוך?

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$.
הגרף של $\displaystyle g$ הוא הגרף של $\displaystyle f$, נמתח פי 2 ומוזז יחידה אחת ימינה.

כתבו בלוח הגרפים את הנוסחה של $\displaystyle g$.

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle g$?
באיזו נקודה מתחיל הגרף שלה?

$\displaystyle {g(x)}={-(x+1)^2+4}$.

איך מקבלים את הגרף של $\displaystyle g$ מהגרף של $\displaystyle {y}={x^2}$?
כתבו את השלבים לפי הסדר.

סמנו את נקודת הקיצון של $\displaystyle g$ ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־$\displaystyle x$.

$\displaystyle f(|x|)$ פירושו: מציבים ב־$\displaystyle f$ את $\displaystyle |x|$ במקום $\displaystyle x$. למשל, אם $\displaystyle {f(x)}={x-1}$, אז $\displaystyle {f(|x|)}={|x|-1}$.
האם הטענה נכונה לכל פונקציה $\displaystyle f$?
אם כן – הסבירו מדוע. אם לא – הביאו דוגמה נגדית.

הפונקציה $\displaystyle |f(x)|$ היא פונקציה זוגית.

הפונקציה $\displaystyle f(|x|)$ היא פונקציה זוגית.

הגרף של $\displaystyle {y}={|f(x)|}$ עובר דרך ראשית הצירים.

כל הערכים של הפונקציה $\displaystyle |f(x)|$ אינם שליליים.