משוואת המשיק

אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל) שיעור 12 מתוך 20לימוד

משוואת המשיק

משוואת המשיק בשלושה שלבים

המשיק לגרף בנקודה הוא ישר: כדי לכתוב את המשוואה שלו צריך נקודה אחת עליו ואת השיפוע שלו. הנגזרת נותנת את השיפוע, והפונקציה נותנת את הנקודה.

$\displaystyle x_1$ – שיעור ה־ $\displaystyle x$ של נקודת ההשקה (הנקודה שבה המשיק נוגע בגרף).
$\displaystyle {y_1}={f(x_1)}$ – שיעור ה־ $\displaystyle y$ שלה: מציבים בפונקציה, לא בנגזרת.
$\displaystyle {m}={f'(x_1)}$ – שיפוע המשיק: מציבים בנגזרת.

\displaystyle y-y_1

\displaystyle =

\displaystyle m(x-x_1)

דוגמה: משיק בנקודה נתונה

בדוגמה שלפניכם נמצא את משוואת המשיק לגרף $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+5}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+5

\displaystyle y=2x-4

\displaystyle A=(3,2)

הנקודה: $\displaystyle {f(3)}={9-12+5}={2}$ , כלומר $\displaystyle (3,2)$ .
הנגזרת: $\displaystyle {f'(x)}={2x-4}$ , והשיפוע: $\displaystyle {f'(3)}={2}$ .
המשוואה: $\displaystyle {y-2}={2(x-3)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={2x-4}$ – הישר המקווקו.

נקודה שבה למשיק שיפוע נתון

כשהשיפוע נתון והנקודה לא ידועה, פותרים את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={m}$ : הפתרונות הם שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של הנקודות שבהן למשיק השיפוע הזה.

בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיקים לגרף $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ ששיפועם 9:

f'(x)=3x^2-3=9\quad\Rightarrow\quad x^2=4

ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ .

ב־ $\displaystyle {x}={2}$ : $\displaystyle {f(2)}={2}$ , והמשיק $\displaystyle {y}={9x-16}$ .
ב־ $\displaystyle {x}={-2}$ : $\displaystyle {f(-2)}={-2}$ , והמשיק $\displaystyle {y}={9x+16}$ .
לשני המשיקים אותו שיפוע, ולכן הם מקבילים.

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

\displaystyle y=9x-16

\displaystyle y=9x+16

\displaystyle A=(2,2)

\displaystyle B=(-2,-2)

משיק אופקי ומשיק מקביל לישר

שני מקרים של שיפוע נתון:

משיק אופקי (מקביל לציר ה־ $\displaystyle x$ ) – השיפוע שלו 0: פותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , והמשיק הוא $\displaystyle {y}={f(x_1)}$ .
משיק מקביל לישר $\displaystyle {y}={mx+b}$ – לישרים מקבילים אותו שיפוע: פותרים $\displaystyle {f'(x)}={m}$ .
נקודות החיתוך של משיק עם הצירים: מציבים $\displaystyle {x}={0}$ (ציר ה־ $\displaystyle y$ ) או $\displaystyle {y}={0}$ (ציר ה־ $\displaystyle x$ ) במשוואת המשיק.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2+2x}$ .
הנקודה $\displaystyle (1,3)$ נמצאת על הגרף שלה.

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (1,3)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}+2x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק בנקודה הזו.

\displaystyle f(x)=x^{2}+2x

\displaystyle (1,3)

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-2x^2}$ .
כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}

\displaystyle (2,0)

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-6x+7}$ .
המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle A$ מקביל לישר $\displaystyle {y}={2x+3}$ (המקווקו).

כתבו משוואה ופתרו אותה: מהו שיעור ה־ $\displaystyle x$ של הנקודה $\displaystyle A$ ?

כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle A$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+7

\displaystyle y=2x+3

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-12x}$ .

בנקודות שבהן המשיק לגרף אופקי, $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .
פתרו את המשוואה.

כתבו בלוח הגרפים את משוואות שני המשיקים האופקיים.

\displaystyle f(x)=x^{3}-12x

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(2x-3)^2}$ .

כתבו בלוח הגרפים את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (1,1)$ .

\displaystyle f(x)=(2x-3)^{2}

\displaystyle (1,1)

פתרו משוואה: באיזו נקודה המשיק חותך את ציר ה־ $\displaystyle x$ ?

המשיק חותך את ציר ה־ $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,5)$ .
חשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$