הפונקציה הקדומה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 16 מתוך 20לימוד

הפונקציה הקדומה

הפעולה ההפוכה לגזירה

פונקציה קדומה של $\displaystyle f(x)$ היא פונקציה $\displaystyle F(x)$ שהנגזרת שלה היא $\displaystyle f(x)$ : $\displaystyle {F'(x)}={f(x)}$ .
למשל, ל- $\displaystyle {f(x)}={2x}$ :

$\displaystyle {F(x)}={x^2}$ היא פונקציה קדומה, כי $\displaystyle {(x^2)'}={2x}$ ;
גם $\displaystyle x^2+5$ ו- $\displaystyle x^2-3$ הן פונקציות קדומות: הנגזרת של מספר קבוע היא 0.

כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ הן $\displaystyle F(x)+C$ , כש- $\displaystyle C$ מספר כלשהו – קבוע האינטגרציה. הגרפים שלהן הם אותו גרף, מוזז למעלה או למטה.

האינטגרל הלא מסוים

את כל הפונקציות הקדומות של $\displaystyle f$ כותבים כאינטגרל לא מסוים:

\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C

$\displaystyle \int$ – סימן האינטגרל;
$\displaystyle dx$ – המשתנה הוא $\displaystyle x$ ;
למשל, $\displaystyle {\int2x\,dx}={x^2+C}$ .

בדיקה: גוזרים את התשובה, וצריך לקבל את הפונקציה שמתחת לסימן האינטגרל.

כללי האינטגרציה

כל כלל הוא כלל גזירה, הפוך:

\displaystyle \int x^{n}\,dx

\displaystyle =

\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C

\displaystyle n\neq-1

מספר שכופל את הפונקציה נשאר: $\displaystyle {\int5x^2\,dx}={\frac{5x^3}{3}+C}$ ;
אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים;
$\displaystyle {\int k\,dx}={kx+C}$ .

ומהנגזרת $\displaystyle {\left(-\frac{c}{a(ax+b)}\right)'}={\frac{c}{(ax+b)^2}}$ :

\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx

\displaystyle =

\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C

למשל, $\displaystyle {\int\frac{6}{(2x+1)^2}\,dx}={-\frac{6}{2(2x+1)}+C}={-\frac{3}{2x+1}+C}$ .

דוגמה

בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle \int(3x^2-4x+1)\,dx$ איבר אחרי איבר:

\int(3x^2-4x+1)\,dx=\frac{3x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+x+C=x^3-2x^2+x+C

בדיקה: $\displaystyle {(x^3-2x^2+x+C)'}={3x^2-4x+1}$ .

פונקציה קדומה דרך נקודה

הנגזרת של $\displaystyle f$ היא $\displaystyle {f'(x)}={2x-4}$ , והגרף של $\displaystyle f$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle A(3,5)$ .
בפתרון שלפניכם נמצא את $\displaystyle f$ מתוך הנגזרת, ואת $\displaystyle C$ מתוך הנקודה:

$\displaystyle {f(x)}={\int(2x-4)\,dx}={x^2-4x+C}$ ;
נציב את $\displaystyle A$ : $\displaystyle {3^2-4\cdot3+C}={5}$ , כלומר $\displaystyle {-3+C}={5}$ , ולכן $\displaystyle {C}={8}$ ;
$\displaystyle {f(x)}={x^2-4x+8}$ .

\displaystyle y=x^{2}-4x

\displaystyle y=x^{2}-4x+4

\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+8

\displaystyle A=(3,5)

בלוח שלוש מהפונקציות הקדומות של $\displaystyle 2x-4$ . לכולן אותו שיפוע בכל $\displaystyle x$ , ורק אחת עוברת דרך $\displaystyle A$ .

תרגיל 1

חשבו את האינטגרלים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

פתחו את הסוגריים, ואחר כך חשבו את האינטגרל.

תרגיל 3

חשבו את האינטגרלים בעזרת הכלל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^2}$ .

תרגיל 4

$\displaystyle {F'(x)}={3x^2+2}$ , והגרף של $\displaystyle F$ עובר דרך הנקודה $\displaystyle A(1,4)$ .

$\displaystyle {F(x)}={x^3+2x+C}$ . חשבו את $\displaystyle C$ .

כתבו את $\displaystyle F(x)$ על הלוח.

\displaystyle A=(1,4)

תרגיל 5

$\displaystyle {f'(x)}={\frac{2}{(x-1)^2}}$ , ו- $\displaystyle {f(2)}={1}$ .
מצאו את $\displaystyle f(x)$ , וכתבו אותה על הלוח. את $\displaystyle C$ חשבו בכרטיס שמתחת ללוח.

\displaystyle B=(2,1)

\displaystyle x=1

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$