שטח בין שני גרפים

כשהגרף של $\displaystyle f$ נמצא מעל הגרף של $\displaystyle g$ בין $\displaystyle {x}={a}$ ל-$\displaystyle {x}={b}$, השטח ביניהם הוא האינטגרל של ההפרש:

• $\displaystyle f(x)-g(x)$ הוא הגובה של הרצועה בין הגרפים בכל $\displaystyle x$, ולכן הוא תמיד חיובי – גם כשהגרפים מתחת לציר $\displaystyle x$;
• השטח שבין גרף לציר $\displaystyle x$ הוא מקרה פרטי: $\displaystyle {g(x)}={0}$;
• כשהגרפים תוחמים שטח סגור, $\displaystyle a$ ו-$\displaystyle b$ הם נקודות המפגש שלהם: פותרים $\displaystyle {f(x)}={g(x)}$.

$\displaystyle {f(x)}={4x-x^2}$, $\displaystyle {g(x)}={x}$.
בדוגמה שלפניכם נחשב את השטח שהגרפים תוחמים:

• נקודות המפגש: $\displaystyle {4x-x^2}={x}$, כלומר $\displaystyle {3x-x^2}={0}$, $\displaystyle {x(3-x)}={0}$: $\displaystyle {x}={0}$, $\displaystyle {x}={3}$;
• בין 0 ל-3 הפרבולה מעל הישר (למשל, ב-$\displaystyle {x}={1}$: $\displaystyle 3>1$);
• $\displaystyle {S}={\int_0^3\left((4x-x^2)-x\right)dx}={\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3}={\frac{27}{2}-9}={\frac{9}{2}}$.

$\displaystyle {f(x)}={x^2}$. המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (2,4)$ הוא $\displaystyle {y}={4x-4}$ (השיפוע $\displaystyle {f'(2)}={4}$), והוא חותך את ציר $\displaystyle x$ ב-$\displaystyle {x}={1}$.
בפתרון שלפניכם נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף, המשיק וציר $\displaystyle x$ – הוא בנוי משני חלקים:

• מ-0 עד 1 – בין הגרף לציר $\displaystyle x$: $\displaystyle {\int_0^1x^2\,dx}={\frac{1}{3}}$;
• מ-1 עד 2 – בין הגרף למשיק: $\displaystyle {\int_1^2\left(x^2-(4x-4)\right)dx}={\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_1^2}={\frac{8}{3}-\frac{7}{3}}={\frac{1}{3}}$;
• השטח כולו: $\displaystyle {\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}={\frac{2}{3}}$.

דרך אחרת: השטח שמתחת לגרף מ-0 עד 2, $\displaystyle \frac{8}{3}$, פחות המשולש שמתחת למשיק, $\displaystyle {\frac{1\cdot4}{2}}={2}$: גם כך $\displaystyle \frac{2}{3}$.

$\displaystyle k>0$, והשטח המוגבל על ידי הישר $\displaystyle {y}={2x}$, ציר $\displaystyle x$ והישר $\displaystyle {x}={k}$ הוא 9.
בפתרון שלפניכם נכתוב את השטח בעזרת $\displaystyle k$, ונפתור משוואה:

• $\displaystyle {S}={\int_0^k2x\,dx}={\left[x^2\right]_0^k}={k^2}$;
• $\displaystyle {k^2}={9}$, ולכן $\displaystyle {k}={3}$ ($\displaystyle {k}={-3}$ נפסל: $\displaystyle k>0$).

בלוח – הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={x+2}$ ו-$\displaystyle {g(x)}={x^2}$, והשטח שהם תוחמים.

מצאו את נקודות המפגש של הגרפים, וסמנו אותן על הלוח.

חשבו את השטח: כתבו את האינטגרל בשורה הראשונה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $\displaystyle {f(x)}={8-x^2}$ ו-$\displaystyle {g(x)}={x^2}$: מצאו את נקודות המפגש, ואחר כך את השטח.

בלוח – השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x^2}}$, הישר $\displaystyle {y}={1}$ והישר $\displaystyle {x}={1}$.

מצאו איפה הגרף של $\displaystyle f$ פוגש את הישר $\displaystyle {y}={1}$, מימין לציר $\displaystyle y$.

חשבו את השטח.

$\displaystyle a>0$, והשטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle {y}={x^2}$ והישר $\displaystyle {y}={a^2}$ הוא 36.

הגרפים נפגשים ב-$\displaystyle {x}={-a}$ וב-$\displaystyle {x}={a}$. חשבו את השטח בעזרת $\displaystyle a$.

מצאו את $\displaystyle a$.

$\displaystyle {f(x)}={x^2}$.
מעבירים משיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה $\displaystyle (1,1)$.

כתבו את משוואת המשיק על הלוח.

המשיק חותך את ציר $\displaystyle x$ ב-$\displaystyle {x}={\frac{1}{2}}$. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $\displaystyle f$, המשיק וציר $\displaystyle x$.