חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 5 מתוך 20לימוד

חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות

נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר $\displaystyle x$ : שבר שווה ל-0 בדיוק כשהמונה שווה ל-0 (והמכנה לא). פותרים את המשוואה “המונה $\displaystyle {}={0}$ ”, ומשאירים רק פתרונות שבתחום ההגדרה.
עם ציר $\displaystyle y$ : מציבים $\displaystyle {x}={0}$ , אם 0 בתחום ההגדרה. הנקודה: $\displaystyle (0,f(0))$ . אם 0 לא בתחום, אין לגרף נקודת חיתוך עם ציר $\displaystyle y$ .

דוגמה

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-4}{x-1}}$ , ותחום ההגדרה: $\displaystyle x\neq1$ .
בדוגמה שלפניכם נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים:

המונה: $\displaystyle {x^2-4}={0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={2}$ או $\displaystyle {x}={-2}$ . הנקודות $\displaystyle (-2,0)$ ו- $\displaystyle (2,0)$ .
$\displaystyle {f(0)}={\frac{-4}{-1}}={4}$ . הנקודה $\displaystyle (0,4)$ .

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-1}

\displaystyle x=1

\displaystyle A=(-2,0)

\displaystyle B=(2,0)

\displaystyle C=(0,4)

איפה הסימן מתחלף

פונקציה רציונלית יכולה לעבור מערכים חיוביים לשליליים רק בשני סוגים של נקודות:

בנקודת אפס של המונה – שם הגרף חוצה את ציר $\displaystyle x$ ;
בנקודת אפס של המכנה – שם הגרף קופץ מצד אחד של אסימפטוטה אנכית לצד השני.

בין שתי נקודות כאלה הסימן לא משתנה. לכן מספיק לבדוק את הסימן במספר אחד מכל תחום.

טבלת סימנים

ב- $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-4}{x-1}}$ הנקודות הן $\displaystyle -2$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , והן מחלקות את הישר לארבעה תחומים.
בכל תחום בודקים את הסימן של המונה ושל המכנה, ומהם את הסימן של השבר:

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-2$	$\displaystyle -2<x<1$	$\displaystyle 1<x<2$	$\displaystyle x>2$
$\displaystyle x^2-4$	$\displaystyle +$	$\displaystyle -$	$\displaystyle -$	$\displaystyle +$
$\displaystyle x-1$	$\displaystyle -$	$\displaystyle -$	$\displaystyle +$	$\displaystyle +$
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle -$	$\displaystyle +$	$\displaystyle -$	$\displaystyle +$

$\displaystyle f(x)>0$ כש- $\displaystyle -2<x<1$ או $\displaystyle x>2$ .
$\displaystyle f(x)\geq0$ מוסיף את נקודות האפס של המונה: $\displaystyle -2\leq x<1$ או $\displaystyle x\geq2$ .
$\displaystyle {x}={1}$ לעולם לא חלק מהפתרון: שם $\displaystyle f$ לא מוגדרת.

תרגיל 1

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x+3}{x-1}}$ .
סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-1}

תרגיל 2

פתרו את אי־השוויונות.

תרגיל 3

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle x-\frac{4}{x}>0$ .
כתבו קודם את אגף שמאל כשבר אחד, במכנה משותף.

תרגיל 4

$\displaystyle {f(x)}={\frac{3}{x+1}-2}$ .

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

\displaystyle f(x)=\frac{3}{x+1}-2

באילו תחומים $\displaystyle f(x)\geq0$ ?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$