דלג לתוכן

האינטגרל המסוים ושטח בין גרף לציר x

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 17 מתוך 20לימוד

האינטגרל המסוים ושטח בין גרף לציר x

האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים של f\displaystyle f מ-a\displaystyle a עד b\displaystyle b הוא מספר: ההפרש בין הערכים של פונקציה קדומה F\displaystyle F בשני הקצוות.

∫abf(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx =\displaystyle = F(b)−F(a)\displaystyle F(b)-F(a)
  • a\displaystyle a – הגבול התחתון, b\displaystyle b – הגבול העליון;
  • כותבים את השלב באמצע כך: [F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle {\left[F(x)\right]_{a}^{b}}={F(b)-F(a)};
  • הקבוע C\displaystyle C לא משנה את התוצאה: הוא מתווסף ל-F(b)\displaystyle F(b) וגם ל-F(a)\displaystyle F(a), ונעלם בחיסור. לכן לוקחים C=0\displaystyle {C}={0}.
דוגמה

בדוגמה שלפניכם נחשב את ∫03(x2+1) dx\displaystyle \int_0^3(x^2+1)\,dx:

∫03(x2+1) dx=[x33+x]03=(273+3)−(0+0)=12\int_0^3(x^2+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3=\left(\frac{27}{3}+3\right)-(0+0)=12
שטח מעל ציר x\displaystyle x

כש-f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0 בין a\displaystyle a ל-b\displaystyle b, האינטגרל המסוים שווה לשטח שבין הגרף של f\displaystyle f, ציר x\displaystyle x והישרים x=a\displaystyle {x}={a} ו-x=b\displaystyle {x}={b}.
בלוח – השטח שבין הגרף של f(x)=x2+1\displaystyle {f(x)}={x^2+1}, ציר x\displaystyle x, x=0\displaystyle {x}={0} ו-x=3\displaystyle {x}={3}. לפי הדוגמה, השטח הוא 12.

f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1
שטח מתחת לציר x\displaystyle x

כש-f(x)≤0\displaystyle f(x)\leq0 בין a\displaystyle a ל-b\displaystyle b, האינטגרל שלילי: כל ערך של f\displaystyle f שלילי. השטח הוא מינוס האינטגרל.
בלוח – השטח שבין הגרף של f(x)=x2−4\displaystyle {f(x)}={x^2-4} וציר x\displaystyle x, מ-x=0\displaystyle {x}={0} עד x=2\displaystyle {x}={2}:

∫02(x2−4) dx=[x33−4x]02=83−8=−163\int_0^2(x^2-4)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_0^2=\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}

השטח: 163\displaystyle \frac{16}{3}.

f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4
פונקציה שמחליפה סימן

כש-f\displaystyle f מחליפה סימן בין a\displaystyle a ל-b\displaystyle b, מחלקים את התחום בנקודות האפס של f\displaystyle f, ומחשבים את השטח של כל חלק לבד.
בלוח – f(x)=x2−2x\displaystyle {f(x)}={x^2-2x} מ-x=0\displaystyle {x}={0} עד x=3\displaystyle {x}={3}. נקודות האפס: x=0\displaystyle {x}={0}, x=2\displaystyle {x}={2}.

  • מ-0 עד 2 הגרף מתחת לציר: ∫02(x2−2x) dx=[x33−x2]02=83−4=−43\displaystyle {\int_0^2(x^2-2x)\,dx}={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2}={\frac{8}{3}-4}={-\frac{4}{3}}, והשטח 43\displaystyle \frac{4}{3};
  • מ-2 עד 3 הגרף מעל הציר: ∫23(x2−2x) dx=0−(−43)=43\displaystyle {\int_2^3(x^2-2x)\,dx}={0-\left(-\frac{4}{3}\right)}={\frac{4}{3}};
  • השטח כולו: 43+43=83\displaystyle {\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}={\frac{8}{3}}.
f(x)=x2−2x\displaystyle f(x)=x^{2}-2x

האינטגרל מ-0 עד 3 הוא −43+43=0\displaystyle {-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}={0}: החלק שמתחת לציר מקוזז מול החלק שמעליו. לכן אינטגרל אחד על כל התחום לא נותן את השטח.

תרגיל 1

חשבו את האינטגרלים.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        בלוח – הגרף של f(x)=3+2x−x2\displaystyle {f(x)}={3+2x-x^2}, והשטח שהוא תוחם עם ציר x\displaystyle x.

        f(x)=3+2x−x2\displaystyle f(x)=3+2x-x^{2}

        א

        מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר x\displaystyle x, וסמנו אותן על הלוח.

          ב

          חשבו את השטח.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            בלוח – הגרף של f(x)=x3−x2−2x\displaystyle {f(x)}={x^3-x^2-2x}, ושני השטחים שהוא תוחם עם ציר x\displaystyle x.

            f(x)=x3−x2−2x\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-2x
            א

            מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר x\displaystyle x.

              ב

              חשבו את האינטגרל על החלק השמאלי.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                חשבו את האינטגרל על החלק הימני.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                  חשבו את השטח כולו.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=1x2\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x^2}}, ציר x\displaystyle x והישרים x=1\displaystyle {x}={1} ו-x=2\displaystyle {x}={2}.

                    f(x)=1x2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה