גרף הנגזרת, זוגיות ופרמטר

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 9 מתוך 20לימוד

גרף הנגזרת, זוגיות ופרמטר

מה גרף הנגזרת מראה

הערך של $\displaystyle f'$ בכל $\displaystyle x$ הוא השיפוע של $\displaystyle f$ שם. לכן מהגרף של $\displaystyle f'$ קוראים את ההתנהגות של $\displaystyle f$ :

הגרף של $\displaystyle f'$ מעל ציר $\displaystyle x$ ( $\displaystyle f'>0$ ) – $\displaystyle f$ עולה;
הגרף של $\displaystyle f'$ מתחת לציר $\displaystyle x$ ( $\displaystyle f'<0$ ) – $\displaystyle f$ יורדת;
הגרף של $\displaystyle f'$ חוצה את ציר $\displaystyle x$ – ל- $\displaystyle f$ יש שם נקודת קיצון: מקסימום כשהוא חוצה מלמעלה למטה, ומינימום כשהוא חוצה מלמטה למעלה;
ל- $\displaystyle f'$ יש אותו תחום הגדרה כמו ל- $\displaystyle f$ : ליד נקודת אי־הגדרה של $\displaystyle f$ יש גם ל- $\displaystyle f'$ אסימפטוטה אנכית.

דוגמה

$\displaystyle {f(x)}={x+\frac{4}{x}}$ , והנגזרת שלה $\displaystyle {g(x)}={f'(x)}={1-\frac{4}{x^{2}}}$ – הגרף בצבע השני.

\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}

\displaystyle g(x)=1-\frac{4}{x^{2}}

\displaystyle x=0

$\displaystyle g$ חוצה את ציר $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle {x}={-2}$ מלמעלה למטה – ל- $\displaystyle f$ יש שם מקסימום, $\displaystyle (-2,-4)$ ;
$\displaystyle g$ חוצה את ציר $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle {x}={2}$ מלמטה למעלה – ל- $\displaystyle f$ יש שם מינימום, $\displaystyle (2,4)$ ;
בין $\displaystyle -2$ ל- $\displaystyle 2$ הגרף של $\displaystyle g$ מתחת לציר $\displaystyle x$ – $\displaystyle f$ יורדת שם, משני צדי $\displaystyle {x}={0}$ ;
בשתי הפונקציות $\displaystyle {x}={0}$ אינו בתחום ההגדרה.

תרגיל 1

בלוח – הגרף של $\displaystyle {g(x)}={f'(x)}$ , הנגזרת של פונקציה $\displaystyle f$ .
התחום של $\displaystyle f$ : $\displaystyle x\neq0$ .

\displaystyle g(x)=\frac{4-x^{2}}{x^{2}}

באילו תחומים $\displaystyle f$ עולה, ובאילו היא יורדת?

באילו ערכי $\displaystyle x$ יש ל- $\displaystyle f$ נקודות קיצון, ומה סוג כל אחת?

פונקציה זוגית ואי־זוגית

כמו בפולינומים, בודקים זוגיות בהצבה של $\displaystyle -x$ :

\displaystyle f(-x)

\displaystyle =

\displaystyle f(x)

\displaystyle f(-x)

\displaystyle =

\displaystyle -f(x)

זוגית – $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$ לכל $\displaystyle x$ בתחום: הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$ ;
אי־זוגית – $\displaystyle {f(-x)}={-f(x)}$ לכל $\displaystyle x$ בתחום: הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים;
תחום ההגדרה של פונקציה זוגית או אי־זוגית סימטרי סביב 0: אם $\displaystyle {x}={1}$ אינו בתחום, גם $\displaystyle {x}={-1}$ אינו בו.

בלוח: $\displaystyle {f(x)}={\frac{3}{x^{2}-1}}$ זוגית, כי $\displaystyle {f(-x)}={\frac{3}{(-x)^{2}-1}}={\frac{3}{x^{2}-1}}$ ; ו- $\displaystyle {g(x)}={\frac{2x}{x^{2}+1}}$ אי־זוגית, כי $\displaystyle {g(-x)}={\frac{-2x}{x^{2}+1}}={-g(x)}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}

\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}

\displaystyle x=1

\displaystyle x=-1

הגרף של $\displaystyle f$ זהה משני צדי ציר $\displaystyle y$ , והגרף של $\displaystyle g$ חוזר על עצמו בסיבוב של חצי סיבוב סביב $\displaystyle (0,0)$ .

תרגיל 2

זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה?
בסעיפים א’ ו-ב’ – כתבו את $\displaystyle f(-x)$ , פשטו, וסיימו ב- $\displaystyle f(x)$ או ב- $\displaystyle -f(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+4}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x-2}}$ . הסבירו בעזרת תחום ההגדרה.

פרמטר

פרמטר הוא מספר שכתוב באות, למשל $\displaystyle a$ . מוצאים אותו מנתון אחד: מציבים את הנתון, ופותרים משוואה ב- $\displaystyle a$ .

דוגמה: $\displaystyle {f(x)}={\frac{4x+1}{ax^{2}-2x}}$ , ול- $\displaystyle f$ יש אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={2}$ .
בפתרון שלפניכם נשתמש בכך שהמכנה מתאפס ב- $\displaystyle {x}={2}$ :

$\displaystyle {a\cdot2^{2}-2\cdot2}={0}$ , כלומר $\displaystyle {4a-4}={0}$ , ו- $\displaystyle {a}={1}$ ;
המונה ב- $\displaystyle {x}={2}$ : $\displaystyle {4\cdot2+1}={9\neq0}$ , ולכן $\displaystyle {x}={2}$ באמת אסימפטוטה;
$\displaystyle {f(x)}={\frac{4x+1}{x^{2}-2x}}$ – הגרף בלוח, עם שתי האסימפטוטות האנכיות $\displaystyle {x}={0}$ ו- $\displaystyle {x}={2}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{4x+1}{x^{2}-2x}

\displaystyle x=0

\displaystyle x=2

תרגיל 3

$\displaystyle {f(x)}={x+\frac{a}{x}}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.
ל- $\displaystyle f$ יש נקודת קיצון שבה $\displaystyle {x}={3}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ (התשובה תלויה ב- $\displaystyle a$ ).

$\displaystyle f(x)=x+\frac{a}{x}$

בנקודת הקיצון $\displaystyle {f'(3)}={0}$ . כתבו משוואה ב- $\displaystyle a$ ופתרו אותה.

מצאו את נקודת הקיצון שבה $\displaystyle {x}={3}$ , וקבעו את סוגה.

תרגיל 4

$\displaystyle {f(x)}={\frac{a}{x-1}}$ , ו- $\displaystyle a$ פרמטר.
השיפוע של המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$ הוא $\displaystyle -2$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x-1}$

כתבו משוואה ב- $\displaystyle a$ ופתרו אותה.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$