דלג לתוכן

בעיות קיצון: גאומטריה ותיבה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 14 מתוך 20לימוד

בעיות קיצון: גאומטריה ותיבה

דוגמה: משולש שווה־שוקיים

ההיקף של משולש שווה־שוקיים הוא 30 ס"מ.
הבסיס שלו BC=2x\displaystyle {BC}={2x}.
מה צריך להיות x\displaystyle x כדי ששטח המשולש יהיה הגדול ביותר?

בפתרון שלפניכם נבטא את הגובה AD\displaystyle AD בעזרת x\displaystyle x לפי משפט פיתגורס, ונגזור את השטח:

  • כל שוק: AB=30−2x2=15−x\displaystyle {AB}={\frac{30-2x}{2}}={15-x}. הגובה לבסיס חוצה אותו, ולכן BD=x\displaystyle {BD}={x}.
  • במשולש ABD\displaystyle ABD: h=(15−x)2−x2=225−30x\displaystyle {h}={\sqrt{(15-x)^2-x^2}}={\sqrt{225-30x}}.
  • התחום: x>0\displaystyle x>0, ושוק ארוכה מחצי הבסיס: 15−x>x\displaystyle 15-x>x, כלומר x<7.5\displaystyle x<7.5.
  • השטח: S(x)=2x⋅h2=x225−30x\displaystyle {S(x)}={\frac{2x\cdot h}{2}}={x\sqrt{225-30x}}.
  • S′(x)=225−30x−30x2225−30x=225−45x225−30x\displaystyle {S'(x)}={\sqrt{225-30x}-\frac{30x}{2\sqrt{225-30x}}}={\frac{225-45x}{\sqrt{225-30x}}}.
  • S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0} כש-x=5\displaystyle {x}={5}; לפני 5 S′>0\displaystyle S'>0, אחרי 5 S′<0\displaystyle S'<0 – מקסימום.
  • הבסיס 2x=10\displaystyle {2x}={10}, וכל שוק 15−5=10\displaystyle {15-5}={10}: המשולש ששטחו הגדול ביותר הוא משולש שווה־צלעות, ושטחו S(5)=575=253\displaystyle {S(5)}={5\sqrt{75}}={25\sqrt{3}} סמ"ר.
דוגמה: תיבה בלי מכסה

לתיבה בלי מכסה יש בסיס ריבועי, שאורך הצלע שלו x\displaystyle x ס"מ, והנפח שלה 32 סמ"ק.
רוצים שהשטח של הפח שהיא עשויה ממנו – שטח הפנים שלה – יהיה הקטן ביותר.
בפתרון שלפניכם נבטא את הגובה בעזרת x\displaystyle x מתוך הנפח, ונגזור את שטח הפנים:

  • הנפח: x2⋅h=32\displaystyle {x^2\cdot h}={32}, ולכן h=32x2\displaystyle {h}={\frac{32}{x^2}}.
  • שטח הפנים: הבסיס x2\displaystyle x^2 ועוד ארבע דפנות של x⋅h\displaystyle x\cdot h: S(x)=x2+4x⋅32x2=x2+128x\displaystyle {S(x)}={x^2+4x\cdot\frac{32}{x^2}}={x^2+\frac{128}{x}}, בתחום x>0\displaystyle x>0.
  • S′(x)=2x−128x2\displaystyle {S'(x)}={2x-\frac{128}{x^2}}; S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0} כש-x3=64\displaystyle {x^3}={64}, כלומר x=4\displaystyle {x}={4}.
  • לפני 4 S′<0\displaystyle S'<0, אחרי 4 S′>0\displaystyle S'>0 – מינימום.
  • x=4\displaystyle {x}={4}, h=2\displaystyle {h}={2}, ושטח הפנים הקטן ביותר: S(4)=16+32=48\displaystyle {S(4)}={16+32}={48} סמ"ר.

המעטפת של תיבה היא הדפנות בלבד, בלי הבסיסים: כאן 4xh=128x\displaystyle {4xh}={\frac{128}{x}}, ובתיבה הזאת – 32 סמ"ר.

תרגיל 1

על הגרף של y=x\displaystyle {y}={\sqrt{x}} מחפשים את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה A(2.5,0)\displaystyle A(2.5,0).
נקודה על הגרף היא (x,x)\displaystyle (x,\sqrt{x}), והמרחק שלה מ-A\displaystyle A הוא d(x)=(x−2.5)2+(x)2\displaystyle {d(x)}={\sqrt{(x-2.5)^2+(\sqrt{x})^2}}.

א

פתחו את הסוגריים שמתחת לשורש, וכתבו על הלוח את d(x)\displaystyle d(x).

f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
A=(2.5,0)\displaystyle A=(2.5,0)

ב

גזרו את d\displaystyle d.

d(x)=x2−4x+6.25\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}-4x+6.25}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג

    פתרו את המשוואה d′(x)=0\displaystyle {d'(x)}={0}.

      ד

      חשבו את המרחק הקצר ביותר. מהי הנקודה על הגרף?

      d(x)=x2−4x+6.25\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}-4x+6.25}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        לקודקוד אחד של מלבן יש שיעורים (0,0)\displaystyle (0,0), ושתיים מהצלעות שלו על הצירים.
        הקודקוד שמול הראשית נמצא על הגרף y=4x\displaystyle {y}={\frac{4}{x}}, ו-x>0\displaystyle x>0.

        א

        הצלעות של המלבן הן x\displaystyle x ו-4x\displaystyle \frac{4}{x}. כתבו על הלוח את ההיקף P(x)\displaystyle P(x).

        f(x)=4x\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}

        ב

        גזרו את P\displaystyle P.

        P(x)=2x+8x\displaystyle P(x)=2x+\frac{8}{x}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          פתרו את המשוואה P′(x)=0\displaystyle {P'(x)}={0}.

            ד

            חשבו את ההיקף הקטן ביותר. מה הצורה של המלבן?

            P(x)=2x+8x\displaystyle P(x)=2x+\frac{8}{x}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              לתיבה סגורה יש בסיס ריבועי, שאורך הצלע שלו x\displaystyle x ס"מ, והנפח שלה 216 סמ"ק.

              א

              בטאו את הגובה בעזרת x\displaystyle x, וכתבו על הלוח את שטח הפנים S(x)\displaystyle S(x) – שני בסיסים וארבע דפנות.

              ב

              גזרו את S\displaystyle S.

              S(x)=2x2+864x\displaystyle S(x)=2x^{2}+\frac{864}{x}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                  ד

                  חשבו את שטח הפנים הקטן ביותר. מה הצורה של התיבה?

                  S(x)=2x2+864x\displaystyle S(x)=2x^{2}+\frac{864}{x}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    לתיבה סגורה יש בסיס מלבני: הצלעות שלו x\displaystyle x ו-2x\displaystyle 2x ס"מ.
                    הנפח של התיבה 72 סמ"ק.

                    א

                    הגובה הוא h=36x2\displaystyle {h}={\frac{36}{x^2}}. כתבו על הלוח את שטח הפנים S(x)\displaystyle S(x).

                    ב

                    גזרו את S\displaystyle S.

                    S(x)=4x2+216x\displaystyle S(x)=4x^{2}+\frac{216}{x}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                        ד

                        בתיבה ששטח הפנים שלה הקטן ביותר, חשבו את שטח המעטפת.

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה