דלג לתוכן

בעיות קיצון: מספרים וכלכלה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל) שיעור 13 מתוך 20לימוד

בעיות קיצון: מספרים וכלכלה

דרך הפתרון

בבעיית קיצון מחפשים את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר של גודל – סכום, עלות, שטח. הדרך, כמו בכיתה י':

  • בוחרים משתנה x\displaystyle x לאחד הגדלים, וכותבים את שאר הגדלים בעזרתו.
  • כותבים את הגודל שצריך להגדיל או להקטין כפונקציה של x\displaystyle x.
  • כותבים את התחום של x\displaystyle x: אילו ערכים אפשריים בבעיה (אורך חיובי, מספר מוצרים בין 0 ל-15 …).
  • גוזרים, ופותרים f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} בתוך התחום.
  • בודקים את הסימן של f′\displaystyle f' משני צדי כל פתרון: מ-−\displaystyle - ל-+\displaystyle + – מינימום, מ-+\displaystyle + ל-−\displaystyle - – מקסימום.
  • עונים על השאלה שנשאלה – לפעמים היא על x\displaystyle x, ולפעמים על הערך של הפונקציה או על גודל אחר.
תחום פתוח ותחום סגור

בתחום פתוח (x>0\displaystyle x>0, 0<x<10\displaystyle 0<x<10) הקצוות אינם בתחום, והקיצון הוא נקודה שבה f′=0\displaystyle {f'}={0}.
בתחום סגור (5≤x≤15\displaystyle 5\leq x\leq15) גם הקצוות בתחום, והערך הגדול ביותר או הקטן ביותר יכול להיות בקצה. לכן משווים בין:

  • הערכים בנקודות שבהן f′=0\displaystyle {f'}={0} בתוך התחום;
  • הערכים בשני הקצוות.
דוגמה: מספר ושבר

x\displaystyle x מספר חיובי.
מהו הערך הקטן ביותר של הסכום x+9x\displaystyle x+\frac{9}{x}?

בפתרון שלפניכם נגזור את S(x)=x+9x\displaystyle {S(x)}={x+\frac{9}{x}} בתחום x>0\displaystyle x>0, ונבדוק את סימן הנגזרת:

  • S′(x)=1−9x2=x2−9x2\displaystyle {S'(x)}={1-\frac{9}{x^2}}={\frac{x^2-9}{x^2}}.
  • S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0} כש-x2=9\displaystyle {x^2}={9}; בתחום – רק x=3\displaystyle {x}={3}.
  • כש-0<x<3\displaystyle 0<x<3, S′<0\displaystyle S'<0; כש-x>3\displaystyle x>3, S′>0\displaystyle S'>0. לכן ב-x=3\displaystyle {x}={3} יש מינימום.
  • הסכום הקטן ביותר: S(3)=3+3=6\displaystyle {S(3)}={3+3}={6}.
דוגמה: עלות ממוצעת

העלות של ייצור x\displaystyle x מוצרים ביום במפעל היא C(x)=x2+20x+400\displaystyle {C(x)}={x^2+20x+400} שקלים.
העלות הממוצעת של מוצר היא העלות כולה חלקי מספר המוצרים: A(x)=C(x)x=x+20+400x\displaystyle {A(x)}={\frac{C(x)}{x}}={x+20+\frac{400}{x}}.
בפתרון שלפניכם נמצא כמה מוצרים ביום צריך לייצר כדי שהעלות הממוצעת תהיה הקטנה ביותר:

  • A′(x)=1−400x2\displaystyle {A'(x)}={1-\frac{400}{x^2}}; A′(x)=0\displaystyle {A'(x)}={0} כש-x2=400\displaystyle {x^2}={400}, ובתחום x>0\displaystyle x>0: x=20\displaystyle {x}={20}.
  • כש-x<20\displaystyle x<20, A′<0\displaystyle A'<0; כש-x>20\displaystyle x>20, A′>0\displaystyle A'>0: מינימום.
  • A(20)=20+20+20=60\displaystyle {A(20)}={20+20+20}={60}: מוצר עולה בממוצע 60 ₪, כשמייצרים 20 מוצרים ביום.
A(x)=x+20+400x\displaystyle A(x)=x+20+\frac{400}{x}
M=(20,60)\displaystyle M=(20,60)
תרגיל 1

x\displaystyle x מספר חיובי, ו-S(x)=x+1x\displaystyle {S(x)}={x+\frac{1}{x}} – הסכום של x\displaystyle x ושל ההופכי שלו.

א

גזרו את S\displaystyle S.

S(x)=x+1x\displaystyle S(x)=x+\frac{1}{x}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

      ג

      לאיזה מספר חיובי הסכום של המספר ושל ההופכי שלו הוא הקטן ביותר? מהו הסכום הזה?

      x\displaystyle x

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        הסכום

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          המכפלה של שני מספרים חיוביים היא 50.
          רוצים שהסכום של המספר הראשון ושל פעמיים המספר השני יהיה הקטן ביותר.
          המספר הראשון הוא x\displaystyle x.

          א

          המספר השני הוא 50x\displaystyle \frac{50}{x}. כתבו על הלוח את הסכום S(x)\displaystyle S(x).

          ב

          גזרו את S\displaystyle S.

          S(x)=x+100x\displaystyle S(x)=x+\frac{100}{x}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

              ד

              חשבו את הסכום הקטן ביותר. מהם שני המספרים?

              S(x)=x+100x\displaystyle S(x)=x+\frac{100}{x}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                המספר הראשון

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  המספר השני

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 3

                    x\displaystyle x מספר חיובי.
                    לאיזה x\displaystyle x השבר xx2+9\displaystyle \frac{x}{x^2+9} הוא הגדול ביותר?

                    א

                    גזרו את f(x)=xx2+9\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2+9}}.

                    f(x)=xx2+9\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+9}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}, ובדקו שבפתרון החיובי יש מקסימום.

                        ג

                        חשבו את הערך הגדול ביותר של השבר.

                        f(x)=xx2+9\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+9}

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          תרגיל 4

                          בית מלאכה מייצר בין 5 ל-15 שולחנות בשבוע.
                          העלות הממוצעת של שולחן, כשמייצרים x\displaystyle x שולחנות, היא A(x)=x2+10+200x\displaystyle {A(x)}={\frac{x}{2}+10+\frac{200}{x}} מאות שקלים.

                          א

                          גזרו את A\displaystyle A.

                          A(x)=x2+10+200x\displaystyle A(x)=\frac{x}{2}+10+\frac{200}{x}

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ב

                            פתרו את המשוואה A′(x)=0\displaystyle {A'(x)}={0}. האם יש לה פתרון בתחום 5≤x≤15\displaystyle 5\leq x\leq15?

                              ג

                              חשבו את העלות הממוצעת בשני הקצוות של התחום.

                              A(x)=x2+10+200x\displaystyle A(x)=\frac{x}{2}+10+\frac{200}{x}

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                A(x)=x2+10+200x\displaystyle A(x)=\frac{x}{2}+10+\frac{200}{x}

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  ד

                                  כמה שולחנות בשבוע צריך לייצר כדי שהעלות הממוצעת תהיה הקטנה ביותר? ומתי היא הגדולה ביותר?

                                  לעלות הקטנה ביותר

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    לעלות הגדולה ביותר

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה